在线性代数裡,正定矩阵(英語:positive-definite matrix)是埃尔米特矩阵的一种,有时会简称为正定阵。在线性代数中,正定矩阵的性质類似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式(複域中则对应埃尔米特正定双线性形式)。
定义
一个 的实对称矩阵 是正定的,当且仅当对于所有的非零实系数向量 ,都有 。其中 表示 的转置。对于复数的情况,定义则为:一个 的埃尔米特矩阵 是正定的若且唯若对于每个非零的複向量 ,都有 。其中 表示 的共轭转置。
這樣的定義仰賴一個事實:对于任意的埃爾米特矩陣 及複向量 , 必定是实数。
首先,因為 是埃爾米特矩陣,所以我們有 。接下來我們計算所求的共轭转置:。因為 是純量且其共軛複數等於自身,所以根據複數的性質,我們得出 是實數。
正定矩陣
对於 的埃尔米特矩阵 ,下列性质与「 为正定矩阵」等价:
- 的所有的特征值 都是正的。
- 半双线性形式 定义了一个 上的内积。实际上,所有 上的内积都可視為由某个正定矩阵通过此种方式得到。
- 是向量 構成的格拉姆矩阵,其中 。更精确地说, 定义为:。换句话说, 具有 的形式,其中 不一定是方阵,但必須是单射的。
- 的所有顺序主子式,也就是顺序主子阵的行列式都是正的(西尔维斯特准则)。明确地说,就是考察 左上角大小 的子矩阵的行列式。对于半正定矩阵而言,相应的条件应改为所有的主子式非负。但顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子:
- 存在唯一的下三角矩阵 ,其主对角线上的元素全是正的,使得 。其中 是 的共轭转置。这一分解被称为科列斯基分解。
对于实对称矩阵,只需将上述性质中的 改为 ,並将「共轭转置」改为「转置」即可。
由以上的第二个等价条件,可以得到二次型形式下正定矩阵的等价条件:用 代表 或 ,设 是 上的一个向量空间。一个埃尔米特型:
负定、半定及不定矩阵
与正定矩阵对应,一个 的埃尔米特矩阵 是负定矩阵(英語:negative-definite matrix)若且唯若对所有非零向量 (或 ),都有 。
是半正定矩阵(英語:positive semi-definite matrix)若且唯若對於所有非零向量 (或 ),都有 。
是半负定矩阵(英語:negative semi-definite matrix)若且唯若對於所有非零向量 (或 ),都有 。
如果一个埃尔米特矩阵既不是半正定也不是半负定的,那么称其为不定矩阵(英語:indefinite matrix)。
可以看出,上一节中正定矩陣的第一個等价性质只需作出相应改动,就可以变为判别负定矩阵、半正定矩阵和半负定矩阵的准则。注意当 是半正定时,相应的格拉姆矩阵不必由线性獨立的向量组成。对於任意矩阵 ,必是半正定的,并有 (两者的秩相等)。反过来,任意的半正定矩阵都可以写作 ,这就是科列斯基分解。
一个埃尔米特矩阵 是负定矩阵若且唯若 的所有奇数阶顺序主子式小于 ,所有偶数阶顺序主子式大于 。当 是负定矩阵时, 的逆矩阵也是负定的。
相关性质
若 为半正定矩阵,可以記作 。如果是正定矩阵,可以記作 。这个记法来自泛函分析,其中的正定矩阵定义了正算子。
对于一般的埃尔米特矩阵,、, 若且唯若 。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地,可以定义。
1. | 每个正定阵都是可逆的,它的逆也是正定阵。如果 那么 。 |
2. | 如果 是正定阵, 为正实数,那么 也是正定阵。
如果 、 是正定阵,那么 、 与 都是正定的。如果 ,那么 仍是正定阵。 |
3. | 如果 那么主对角线上的元素 为正实数。于是有 。此外还有
|
4. | 矩阵 是正定阵若且唯若存在唯一的正定阵 使得 。根据其唯一性可以记作 ,称 为 的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时,如果 那么 。 |
5. | 如果 那么 ,其中 表示克羅內克積。 |
6. | 对矩阵 ,将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为 ,即 ,称为与的 阿达马乘积。如果 ,那么 。如果 为实係数矩阵,则以下不等式成立:
。 |
7. | 设 , 为埃尔米特矩阵。如果 (相應地,),那么 (相應地,)。 |
8. | 如果 为实系数矩阵,则 。 |
9. | 如果 为实系数矩阵,那么存在 使得 ,其中 为单位矩阵。 |
非埃尔米特矩阵的情况
一个实矩阵 可能满足對於所有的非零实向量 ,,卻不是对称矩阵。举例来说,矩阵
- 就满足这个条件。对於 并且 ,。
一般来说,一个实系数矩阵 满足对所有非零实向量 ,,若且唯若对称矩阵 是正定矩阵。
对于复系数矩阵,情况可能會不太一样。主要考慮如何扩展 这一性质。要使得 总为实数,矩阵 必须是埃尔米特矩阵。因此,若 总是正实数, 必然是正定的埃尔米特矩阵。如果将 扩展为 ,则等价于 为正定矩阵。
参见
参考资料
- Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Matrix Analysis, Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).
- Rajendra Bhatia. Positive definite matrices,. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.
外部链接
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