包络定理

包络定理(Envelop Theorem)是带参数的最优化问题中的一个定理。这个定理的内容是，参数的值变动时，目标函数的变动只和参数的变动有关，而与自变量（因参数变动而引起）的变动无关。包络定理在最优化领域非常有用。

具体表述

无约束的情形

设${\displaystyle f(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\alpha }})}$是${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+l}}$上的可微实函数，其中${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$是自变量，${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\in \mathbb {R} ^{l}}$是参数，目标是选择适当的${\displaystyle \mathbf {x} }$以最大化/最小化${\displaystyle f}$。设${\displaystyle V({\boldsymbol {\alpha }})=f(\mathbf {x} ^{*},{\boldsymbol {\alpha }})}$，其中${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$为${\displaystyle f}$取最大值/最小值时的${\displaystyle \mathbf {x} }$，则包络定理即

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} {\boldsymbol {\alpha }}}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\alpha }}}}\right\vert _{\mathbf {x} =\mathbf {x} ^{*}}}$。^[1][2]

证明

根据全微分公式有

${\displaystyle \mathrm {d} V=\left.\mathrm {d} f\right\vert _{\mathbf {x} =\mathbf {x} ^{*}}=\left.\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} x_{i}+\sum _{i=1}^{l}{\frac {\partial f}{\partial \alpha _{i}}}\mathrm {d} \alpha _{i}\right)\right\vert _{\mathbf {x} =\mathbf {x} ^{*}}}$。

因为${\displaystyle \mathbf {x} }$取最值时必有${\displaystyle f}$对${\displaystyle x_{i}}$的一阶偏导数为零，即

${\displaystyle \left.{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\right\vert _{\mathbf {x} =\mathbf {x} ^{*}}=0}$，

故可得到

${\displaystyle \mathrm {d} V=\left.\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial \alpha _{i}}}\mathrm {d} \alpha _{i}\right\vert _{\mathbf {x} =\mathbf {x} ^{*}}}$，

也即${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} {\boldsymbol {\alpha }}}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\alpha }}}}\right\vert _{\mathbf {x} =\mathbf {x} ^{*}}}$成立。

有约束的情形

在无约束的情形下加上${\displaystyle m}$个同样可微的实约束函数${\displaystyle g_{j}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\alpha }})=0}$，则包络定理变为

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} {\boldsymbol {\alpha }}}}=\left.{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {\alpha }}}}\right\vert _{\mathbf {x} =\mathbf {x} ^{*}}}$，

其中${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\lambda }},{\boldsymbol {\alpha }})=f(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\alpha }})+\sum _{j=1}^{m}\lambda _{j}({\boldsymbol {\alpha }})g_{j}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\alpha }})}$是拉格朗日函数。

证明过程与无约束时类似，只是${\displaystyle \mathbf {x} }$取最值时${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=0}$变为${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}=0}$。

参考文献

1. Afriat, S. N. Theory of Maxima and the Method of Lagrange. SIAM Journal on Applied Mathematics. 1971, 20 (3): 343–357. doi:10.1137/0120037.
2. Takayama, Akira. Mathematical Economics Second. New York: Cambridge University Press. 1985: 137–138 [2018-11-10]. ISBN 0-521-31498-4. （原始内容存档于2017-02-22）.

参见

• 霍特林引理
• 谢泼德引理
• 罗伊恒等式