Loading AI tools
来自维基百科,自由的百科全书
在數學中,群 <G,*> 定義為集合 G 和叫做“乘積”并指示為中綴 "*" 的 G 上的二元運算。乘積服從下列規則(也叫做公理)。設 a, b 和 c 是 G 的任意元素。則:
阿貝爾群還服從額外的規則:
封閉性是二元運算定義的一部分,因此 A1 經常省略。
G = {1,-1} 是乘法下的一個群,因為對于所有 G 中的元素 a, b, c:
整數集 Z 和實數集 R 是在加法 '+' 下的群,對于所有 Z 或者 R 中的元素 a, b 和 c:
實數集 R 不是乘法 '*' 下的群。對于所有 R 中的 a, b 和 c:
實數集去除 0 即 R# 是在乘法 '*' 下的群。
A3 和 A4 可以被替代為:
還可以替代為:
這些看起來更弱的公理對天然的蘊含於 A3 和 A4 中。我們現在證明逆過來也是真的。
定理: A1 和 A2 ,A3’ 和 A4’ 蘊含 A3 和 A4。
證明。假設給出了左單位元 e 和 G 中的 a,根據 A4’存在一個 x 使得 x*a = e。
我們欲證明的是 a*x = e。 根據 A4’存在 G 中的一個 y 有著:
所以:
e | = y * (a * x) | (1) |
= y * (a * (e * x)) | (A3') | |
= y * (a * ((x * a) * x)) | (A4') | |
= y * (a * (x * (a * x))) | (A2) | |
= y * ((a * x) * (a * x)) | (A2) | |
= (y * (a * x)) * (a * x) | (A2) | |
= e * (a * x) | (1) | |
= a * x | (A3') |
這確立了 A4。
a * e | = a * (x * a) | (A4) |
= (a * x) * a | (A2) | |
= e * a | (A4) |
這確立了 A3。
定理: A1 和 A2,A3’’和 A4’’蘊含 A3 和 A4。
證明。類似上述。
定理 1.4: 群 <G,*> 的單位元是唯一的。
證明: 假設 e 和 f 是 G 的兩個單位元。則
e | = e * f | (A3) |
= f | (A3') |
在討論和比較不同的群的時候,eG 指示特定群 <G,*> 的唯一單位元。
定理 1.5: <G,*> 中每個元素的逆元是唯一的。
證明: 假設 h 和 k 是 G 的元素 g 的兩個逆元。則
h | = h * e | (A3) |
= h * (g * k) | (A4) | |
= (h * g) * k | (A2) | |
= (e * k) | (A4) | |
= k | (A3) |
沒有歧義性的,對於所有 G 中的a,我們指示 a 的唯一逆元為 a -1。
定理 1.3: 對於所有 G 中元素 a,b,存在唯一的 G 中的 x 使得 a*x = b。
證明。的確存在至少一個這種 x,因為如果我們設 x = a -1*b,則 x 在 G 中(通過 A1,閉包)并且:
為了證明這是唯一性的,如果 a*x = b,則
類似的,對於所有 G 中的 a,b,存在唯一的一個 G 中的 y 使得 y*a = b。
定理 1.6: 對於所有群 G 中的元素 a,(a -1) -1 = a。
證明。a -1*a = a -1*(a -1) -1=e。(A4)
由定理 1.5知定理1.6成立。
定理 1.7: 對於所有群 G 中元素 a,b,(a*b) -1 = b -1*a -1。
證明。(a*b)*(b -1*a -1) = a*(b*b -1)*a -1 = a*e*a -1 = a*a -1 = e。結論得出自定理 1.4。
定理 1.8: 對于所有群 G 中的元素 a,x 和 y,如果 a*x = a*y,則 x = y;并且如果 x*a = y*a,則 x = y。
證明。如果 a*x = a*y 則:
如果 x*a = y*a 則
對於 和 我們定義:
定理 1.9: 對于所有群 <G,*> 中的 a,:
類似的如果 G 使用了加法符號,我們有:
并且:
群 G 中的元素 a 的階是最小正整數 n 使得 an = e。有些它寫為“o(a)=n”。n 可以是無限的。
定理 1.10: 其非平凡元素都是 2 階的群是阿貝爾群。換句話說,如果所有群 G 中的元素 g 都有 g*g=e 成立,則對於所有 G 中的 a,b,a*b = b*a。
證明 1。設 a, b 是群 G 中任何 2 個元素。
由 公理 A1 可知 (a*b) 是群 G 的元素,所以 (a*b) 是群 G 的 2 階元素
因為群運算 * 是符合交換律的,這個群是阿貝爾群。
證明 2。設 a, h 是群 G 中任何 2 個元素。通過 A1,a*h 也是 G 的成員。使用給定條件,我們知道 (a*h)*(a*h) = e。因此:
因為群運算 * 是符合交換律的,這個群是阿貝爾群。
群 G 的階,通常指示為 |G| 或偶爾指示為 o(G),在 <G,*> 是有限群的情況下是集合 G 中元素的數目。如果 G 是無限集合,則群 <G,*> 有等于 G 的勢的階,而且是無限群。
G 的子集 H 被稱為群 <G,*> 的子群,如果使用相同的算子 "*",并限制於子集 H 內,H 滿足群公理。因此如果 H 是 <G,*> 的子群,則 <H,*> 也是群,并在限制於 H 內,滿足上述定理。子群 H 的階是 H 中元素的數目。
群 G 的真子群是不同於 G 的子群。G 的非平凡子群(通常)是包含至少一个不是 e 的元素的 G 的真子集。
定理 2.1: 如果 H 是 <G,*> 的子群,則 在 H 中的單位元 eH 同一於 (G,*) 中的單位元 e。
證明。如果 h 在 H 中,則 h*eH = h;因為 h 必定也在 G 中,h*e = h;所以通過定理 1.4,eH = e。
定理 2.2: 如果 H 是 G 的子群,并且 h 是 H 的元素,則 h 在 H 中的逆元同一於 h 在 G 中的逆元。
證明。設 h 和 k 是 H 的元素,使得 h*k = e;因為 h 必定也在 G 中,h*h -1 = e;所以通過定理 1.5,k = h -1。
給定 G 的子集 S,我們經常想要確定 S 是否也是 G 的子群。一個手頭的定理對無限群和有限群都是有效的:
定理 2.3: 如果 S 是 G 的非空子集,則 S 是 G 的子群,當且僅當對於所有 S 中的 a,b,a*b -1 在 S 中。
證明。如果對於所有 S 中的 a, b,a*b -1 在 S 中,則
因此,滿足了閉包、單位元和逆元公理,而結合律是繼承來的,所以 S 是子群。
反過來說,如果 S 是 G 的子群,則它滿足群公理。
兩個或更多個子群的交集也是子群。
定理 2.4: 群 G 的子群的任何非空集合的交集是子群。
證明。設 {Hi} 是 G 的子群的集合,并設 K = ∩{Hi}。通過定理 2.1,e 是所有 Hi 的成員;因此 K 非空。如果 h 和 k 是 K 的兩個元素,則對於所有 i,
因此對于 K 中的所有 h, k,h*k -1 在 K 中。接著通過前面的定理,K=∩{Hi} 是 G 的子群;并且事實上 K 是每個 Hi 的子群。
給定一個群 <G,*>,定義 x*x 為 x², x*x*x*...*x (n 次)為 xn,并定義 x0 = e。類似的,定義 x -n 為 (x -1)n。則我們有:
定理 2.5: 設 a 是群 (G,*) 的元素。則集合 { an: n 是整數 } 是 G 的子群。
如果 S 和 T 是 G 的子集,并且 a 是 G 的元素,我們寫“a*S”來提及形如 a*s 的所有元素構成的 G 的子集,這里的 s 是 S 的元素;類似的,我們寫“S*a”來指示形如 s*a 的元素的集合。我們寫 S*T 表示形如 s*t 的元素構成的 G 的子集,這里的 s 是 S 的元素而 t 是 T 的元素。
如果 H 是 G 的子群,則 H 對于某個 G 中的 a 的左陪集是集合 a*H。右陪集是集合 H*a。
如果 H 是 G 的子群,則下面陳述而不帶證明的有用定理對所有陪集都成立:
定義群 G 的子群 H 的指標(寫為“[G:H]”)為 H 在 G 中不同的左陪集的數目。
從這些定理,我們可以推導出重要的拉格朗日定理,它有關於群的子群的階:
對于有限群,它可以重申為:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.