分佈式參數系統

分佈式參數系統（distributed parameter system）不同於集總參數系統，是状态空间為無限維度的系統。這類系統也稱為是無限維系統。典型的例子是用偏微分方程或是时滞微分方程描述的系統。以下段落所探討的會以線性非時變分佈式參數系統為主。

抽象发展方程

離散時間

假設U、X和Y是希尔伯特空间，而${\displaystyle A\,}$ ∈ L(X), ${\displaystyle B\,}$ ∈ L(U, X), ${\displaystyle C\,}$ ∈ L(X, Y) 和${\displaystyle D\,}$ ∈ L(U, Y)，以下方程可確定一個離散時間的線性非時變系統：

${\displaystyle x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\,}$

${\displaystyle y(k)=Cx(k)+Du(k)\,}$

其中${\displaystyle x\,}$（狀態）是序列，其值在X內，${\displaystyle u\,}$（輸入或是控制）是序列，其值在U內，${\displaystyle y\,}$（輸出）為序列，其值在Y內。

連續時間

連續時間的例子類似離散時間，但需要用微分方程表示，不是用差分方程表示：

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\,}$,

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}$

接下來複雜的部份就是將實際的問題（例如偏微分方程或是时滞微分方程）加到上述的抽象发展方程中，作法是強制使用无界算子。一般會假定A狀態空間X裡的C0半群（英语：strongly continuous semigroup）。假定B、C和D是有界算子，允許包括多待分析的實際的例子^[1]，不過有些實際的例子也會假定B和C是無界的。

例子：偏微分方程

${\displaystyle t>0}$及${\displaystyle \xi \in [0,1]}$的偏微分方程如下

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}w(t,\xi )=-{\frac {\partial }{\partial \xi }}w(t,\xi )+u(t),}$

${\displaystyle w(0,\xi )=w_{0}(\xi ),}$

${\displaystyle w(t,0)=0,}$

${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{1}w(t,\xi )\,d\xi ,}$

符合上述的抽象发展方程。說明如下：輸入空間U及輸出空間Y都選定是複數的集合，狀態空間X選定是L²(0, 1)，A算子定義為:${\displaystyle Ax=-x',D(A)=\left\{x\in X:x{\text{ absolutely continuous }},x'\in L^{2}(0,1){\text{ and }}x(0)=0\right\}.}$ 可以證明^[2]A可以產生X空間內的強連續半羣。有界算子B, C和D定義為

${\displaystyle Bu=u,Cx=\int _{0}^{1}x(\xi )\,d\xi ,D=0}$

例子：时滞微分方程

时滞微分方程

${\displaystyle {\dot {w}}(t)=w(t)+w(t-\tau )+u(t),}$

${\displaystyle y(t)=w(t),}$

符合上述的抽象发展方程。說明如下：輸入空間U及輸出空間Y都選定是複數的集合，狀態空間X選定是L²(−τ, 0)複數的乘積，A算子定義為

${\displaystyle A{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r+f(-\tau )\\f'\end{pmatrix}},D(A)=\left\{{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}\in X:f{\text{ absolutely continuous }},f'\in L^{2}([-\tau ,0]){\text{ and }}r=f(0)\right\}.}$

可以證明^[3]A可以產生X空間內的強連續半羣。有界算子B, C和D定義為

${\displaystyle Bu={\begin{pmatrix}u\\0\end{pmatrix}},C{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}=r,D=0.}$

傳遞函數

分佈式參數系統的傳遞函數和有限維度下的情形相同，都是利用拉氏轉換（連續時間）或是Z轉換（離散時間）來定義。不過有限維度下的傳遞函數是真分式的有理函數，而無限維度的傳遞函數會是無理函數（不過仍然是全純函數）。

離散時間

離散時間的傳遞函數可以用狀態空間參數，表示為以下的形式${\displaystyle D+\sum _{k=0}^{\infty }CA^{k}Bz^{k}}$，函數在圓心為原點的圓盤內是全純的^[4]。若1/z在A的resolvent set內（可能是另一個以圓心為原點，較小的圓盤），則傳遞函數為${\displaystyle D+Cz(I-zA)^{-1}B}$。任何在零點為全純的函數都有對應的離散系統，使該函數為離散系統的傳遞函數。

連續時間

若A可產生強連續半群，且B、C及D為有界算子^[5]，則傳遞函數可以用狀態空間參數表示為${\displaystyle D+C(sI-A)^{-1}B}$，其中s的實部比A產生半群的指數成長上界要大。在更廣泛的情形下，上述公式不一定有意義，不過上述公式適當推廣後的版本仍然會有效^[6]。

若要得到傳遞函數的簡單表示式，較理想的方式是將微分方式進行拉氏轉換，而不是用狀態空間中的參數來表示。

偏微分方程的傳遞函數

令初始條件${\displaystyle w_{0}}$為0，將對t進行過拉氏轉換的函數用大寫表示，可以將偏微分方程轉換為以下的形式

${\displaystyle sW(s,\xi )=-{\frac {d}{d\xi }}W(s,\xi )+U(s),}$

${\displaystyle W(s,0)=0,}$

${\displaystyle Y(s)=\int _{0}^{1}W(s,\xi )\,d\xi .}$

這是非齊次線性微分方程，變數為${\displaystyle \xi }$，s為參數，且初始條件為零。其解為${\displaystyle W(s,\xi )=U(s)(1-e^{-s\xi })/s}$。用此式來代入有Y 的方式中並且積分，可以得到${\displaystyle Y(s)=U(s)(e^{-s}+s-1)/s^{2}}$，因此傳遞函數為${\displaystyle (e^{-s}+s-1)/s^{2}}$。

時滯微分方程的傳遞函數

類似上述偏微分程的例子，時滯微分方程的傳遞函數為^[7] ${\displaystyle 1/(s-1-e^{-s})}$。

可控制性

在有限維的系統中，可控制性的定義只有一種，但無限維的系統中，有幾種不相容的可控制性定義。以下是最重要的三種：

• 精確可控制性（Exact controllability）
• 近似可控制性（Approximate controllability）
• 零可控制性（Null controllability)

離散時間下的可控制性

在離散時間系統中，將所有U值序列的集合映射到X的映射${\displaystyle \Phi _{n}}$相當的重要，其表示式為${\displaystyle \Phi _{n}u=\sum _{k=0}^{n}A^{k}Bu_{k}}$。${\displaystyle \Phi _{n}u}$是初始條件為零時，給定輸入序列u下達到的狀態。The system is called

• 系統在時間n內為精確可控制（exactly controllable）若${\displaystyle \Phi _{n}}$的值域為X。
• 系統在時間n內為近似可控制（approximately controllable）若${\displaystyle \Phi _{n}}$的值域是X內的稠密集。
• 系統在時間n內為零可控制（null controllable）若${\displaystyle \Phi _{n}}$的值包括Aⁿ的值域。

連續時間下的可控制性

在連續時間系統中，${\displaystyle \Phi _{t}}$（表示為${\displaystyle \int _{0}^{t}{\rm {e}}^{As}Bu(s)\,ds}$）有和離散時間系統的${\displaystyle \Phi _{n}}$一樣重要的角色。不過，控制函數所在的空間也會影響定義。一般的選擇是L²(0, ∞;U)，是在(0, ∞)區間內U值平方可積函數的（等效）空間，不過也有其他的定義，例如L¹(0, ∞;U)。當${\displaystyle \Phi _{t}}$的定義域選定之後，有以下幾種不同的可控制性^[8]。

• 系統在時間t內為精確可控制（exactly controllable）若${\displaystyle \Phi _{t}}$的值域為X。
• 系統在時間t內為近似可控制（approximately controllable）若${\displaystyle \Phi _{t}}$的值域為X內的稠密集。
• 系統在時間t內為零可控制（null controllable）若${\displaystyle \Phi _{t}}$的值包括${\displaystyle {\rm {e}}^{At}}$的值域。

可觀察性

就如同有限維度下的情形一樣，無限維度的可觀察性也是可控制性的對偶概念。無限維度有很多種的可觀察性定義，最重要的三個如下：

• 精確可觀察性（exactly observable），也稱為連續可觀察性（continuous observability）
• 近似可觀察性（approximately observable）
• 最終狀態可觀察性（final state observable）

離散時間下的可觀察性

在離散時間系統的可觀察性中，${\displaystyle \Psi _{n}}$（將X映射到所有Y值序列空間的映射，若k ≤ n，表示為${\displaystyle (\Psi _{n}x)_{k}=CA^{k}x}$，在k > n時，數值為0)。意思是${\displaystyle \Psi _{n}x}$是初始條件x，控制輸入為0時的truncated output。有以下幾種可觀察性

• 在時間n有精確可觀察性（exactly observable），若存在 k_n > 0 ，使得　${\displaystyle \|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|x\|}$，在所有 x ∈ X 時都成立
• 在時間n有近似可觀察性（approximately observable），若${\displaystyle \Psi _{n}}$為单射
• 在時間n有最終狀態可觀察性（final state observable），若存在 k_n > 0 使得${\displaystyle \|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|A^{n}x\|}$，在所有 x ∈ X 時都成立

連續時間下的可觀察性

在連續時間系統的可觀察性中，${\displaystyle \Psi _{t}}$（表示為${\displaystyle (\Psi _{t})(s)=C{\rm {e}}^{As}x}$，其中s∈[0,t]，若s>t時為零）的角色和${\displaystyle \Psi _{n}}$在離散時間系統中的相當。不過運算子作用的函數空間也會影響其定義。常見的選擇是L²(0, ∞, Y)，是（等效於）在定義域(0,∞)內的Y-值平方可積函數，不過也可以選擇其他的函數空間，例如L¹(0, ∞, Y)。只要選擇了${\displaystyle \Psi _{t}}$的輔域，就可以定義不同的可觀察性，有以下幾種可觀察性^[9]：

• 在時間t有精確可觀察性（exactly observable），若存在k_t > 0，使得${\displaystyle \|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|x\|}$，在所有 x ∈ X 時都成立
• 在時間t有近似可觀察性（approximately observable），若${\displaystyle \Psi _{t}}$為单射
• 在時間t有最終狀態可觀察性（final state observable），若存在 k_t > 0 使得${\displaystyle \|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|{\rm {e}}^{At}x\|}$ ，在所有x ∈ X 時都成立

可控制性和可觀察性的對偶

和有限維度下的情形類似，可控制性和可觀察性也是對偶的概念（若${\displaystyle \Phi }$域以及輔域${\displaystyle \Psi }$都選用一般的函數空間L²時），這些不同概念的對偶如下^[10]：

• 精確可控制性 ↔ 精確可觀察性。
• 近似可控制性 ↔ 近似可觀察性。
• 零可控制性 ↔ 最終狀態可觀察性。

相關條目

• 控制理论
• 状态空间

腳註

1. Curtain and Zwart
2. Curtain and Zwart Example 2.2.4
3. Curtain and Zwart Theorem 2.4.6
4. This is the mathematical convention, engineers seem to prefer transfer functions to be holomorphic at infinity; this is achieved by replacing z by 1/z
5. Curtain and Zwart Lemma 4.3.6
6. Staffans Theorem 4.6.7
7. Curtain and Zwart Example 4.3.13
8. Tucsnak Definition 11.1.1
9. Tucsnak Definition 6.1.1
10. Tucsnak Theorem 11.2.1

參考資料

• Curtain, Ruth; Zwart, Hans, An Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems theory, Springer, 1995
• Tucsnak, Marius; Weiss, George, Observation and Control for Operator Semigroups, Birkhauser, 2009
• Staffans, Olof, Well-posed linear systems, Cambridge University Press, 2005
• Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer, Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications, Springer, 1999
• Lasiecka, Irena; Triggiani, Roberto, Control Theory for Partial Differential Equations, Cambridge University Press, 2000
• Bensoussan, Alain; Da Prato, Giuseppe; Delfour, Michel; Mitter, Sanjoy, Representation and Control of Infinite Dimensional Systems second, Birkhauser, 2007