几何-调和平均数

两个正实数${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$的几何-调和平均数（英語：Geometric–harmonic mean）是一种二元平均数。

定义

首先计算${\displaystyle x}$的${\displaystyle y}$几何平均数，称其为${\displaystyle g_{1}}$。然后计算${\displaystyle x}$的${\displaystyle y}$调和平均数，称其为${\displaystyle h_{1}}$.

${\displaystyle g_{1}={\sqrt {xy}}.}$

${\displaystyle h_{1}={\frac {2xy}{x+y}}}$

然后重复这个步骤，这样便得到了两个数列(${\displaystyle g_{n}}$)和(${\displaystyle h_{n}}$)：

${\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}h_{n}}}.}$

${\displaystyle h_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{g_{n}}}+{\frac {1}{h_{n}}}}}}$

这两个数列收敛于相同的数，这个数称为${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$的几何-调和平均数，记为${\displaystyle M(x,y)}$，或${\displaystyle \mathrm {ghm} (x,y)}$。

性质

几何-调和平均数${\displaystyle M(x,y)}$介于${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$的几何平均数和调和平均数之间；并且也介于${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$之间。${\displaystyle M(x,y)}$是齐次的，也就是对于${\displaystyle r>0}$，有${\displaystyle M(rx,ry)=rM(x,y)}$

几何-调和平均数${\displaystyle M(x,y)}$和算术-几何平均数${\displaystyle AG(x,y)}$之间具有以下关系：

${\displaystyle M(x,y)={\frac {1}{AG({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}})}}}$

参见

• 调和平均数
• 几何平均数