六进制

六进制是以6为底数的进位制。

整数

六進制使用從0到5的六個數字, 將6表示為“10”，將7表示為“11”，將8表示為“12”。至於冪數，100是十進制36，1000是十進制216，而10000是十進制1296。這是通常用於由六個組成的事物如骰子。

序列的進行如下。

0到30

六进制	0	1	2	3	4	5	10	11	12	13	14	15	20	21	22	23	24	25	30
十进制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18

31到100

六进制	31	32	33	34	35	40	41	42	43	44	45	50	51	52	53	54	55	100
十进制	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36

230到300

六进制	230	231	232	233	234	235	240	241	242	243	244	245	250	251	252	253	254	255	300
十进制	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100	101	102	103	104	105	106	107	108

在六進制系統中“5 +1 = 10”，因此“10÷2 = 3”和“10÷3 = 2”。因此，以3的倍數計數並除以3變得非常容易。在計數方法中，“七”變為“六一”(11)，“十二”變為“二六”(20)，“十八”變為“三六”(30)，“二十一”變為“三六三”(33)，“二十七”變為“四六三”(43)。

100（十進制36）之後的如下。

• 121 (1×6² + 2×6¹ + 1) = 十進制49
• 144 (1×6² + 4×6¹ + 4) = 十進制64
• 213 (2×6² + 1×6¹ + 3) = 十進制81
• 244 (2×6² + 4×6¹ + 4) = 十進制100
• 300 (3×6²) = 十進制108
• 345 (3×6² + 4×6¹ + 5) = 十進制137
• 451 (4×6² + 5×6¹ + 1) = 十進制175
• 500 (5×6²) = 十進制180
• 1000 (1×6³) = 十進制216
• 1104 (1×6³ + 1×6² + 0×6¹ + 4) = 十進制256
• 1405 (1×6³ + 4×6² + 0×6¹ + 5) = 十進制365
• 2000 (2×6³) = 十進制432
• 2521 (2×6³ + 5×6² + 2×6¹ + 1) = 十進制625
• 3213 (3×6³ + 2×6² + 1×6¹ + 3) = 十進制729
• 4344 (4×6³ + 3×6² + 4×6¹ + 4) = 十進制1000
• 5000 (5×6³) = 十進制1080
• 10000 (1×6⁴) = 十進制1296
• 13000 (1×6⁴ + 3×6³) = 十進制1944
• 13132 (1×6⁴ + 3×6³ + 1×6² + 3×6¹ + 2) = 十進制2000
• 24000 (2×6⁴ + 4×6³) = 十進制3456
• 35052 (3×6⁴ + 5×6³ + 0×6² + 5×6¹ + 2) = 十進制5000
• 40000 (4×6⁴) = 十進制5184
• 50213 (5×6⁴ + 0×6³ + 2×6² + 1×6¹ + 3) = 十進制6561
• 100000 (1×6⁵) = 十進制7776
• 101043 (1×6⁵ + 0×6⁴ + 1×6³ + 0×6² + 4×6¹ + 3) = 十進制8019
• 114144 (1×6⁵ + 1×6⁴ + 4×6³ + 1×6² + 4×6¹ + 4) = 十進制10000
• 120000 (1×6⁵ + 2×6⁴) = 十進制10368

冪乗

在六進制中，由於2與3的指數相同，因此可以表示為 "10ⁿ = 2ⁿ×3ⁿ"。 六與十都是兩個素數的乘積，十的3×n乗（14^3×n）與六的4×n乗（10^4×n）彼此接近。因此，以十進制法分隔三位數字（例如公制）的系統將變為六進制法分隔四位數字。

六的冪

指数	六進制	十進制
1	10	6
2	100	36
3	1000	216
4	1 0000	1296
5	10 0000	7776
10	100 0000	4 6656
11	1000 0000	27 9936
12	1 0000 0000	167 9616
13	10 0000 0000	1007 7696
14	100 0000 0000	6046 6176
15	1000 0000 0000	3 6279 7056
20	1 0000 0000 0000	21 7678 2336
21	10 0000 0000 0000	130 6069 4016
22	100 0000 0000 0000	783 6416 4096
23	1000 0000 0000 0000	4701 8498 4576
24	1 0000 0000 0000 0000	2 8211 0990 7456
25	10 0000 0000 0000 0000	16 9266 5944 4736
30	100 0000 0000 0000 0000	101 5599 5666 8416

冪数表

指数	1	2	3	4	5	10	11	12	13	14	15	20
2	2	4	12	24	52	144	332	1104	2212	4424	13252	30544
3	3	13	43	213	1043	3213	14043	50213	231043	1133213	3444043	15220213
5	5	41	325	2521	22245	200201	1401405	12212241	105510125	545151121	4502320045	40120440401

素数

六進制的測定倍數

• 如果第一位是0，則該數字“可以被2和3整除”的數字，即10（六）的倍數。
• 如果第一位是3，則該數字“不可以被2整除, 但是以被3整除”的數字。
• 如果第一位是2或4，則該數字“可以被2整除, 但是不可被3整除”的數字。
• 如果第一位是1或5，則該數字“不能除以2或3整除”的數字。11（七）之後的素數首先是1或5。

六进制对于研究素数是很有用的，因为所有的素数，除了2和3以外，个位数都是1或5。在六进制中，最初的几个素数为：

${\displaystyle 2_{6},3_{6},5_{6},11_{6},15_{6},21_{6},25_{6},31_{6},35_{6},45_{6},51_{6},}$

${\displaystyle 101_{6},105_{6},111_{6},115_{6},125_{6},\ldots }$

也就是说，对于所有除了2和3以外的素数${\displaystyle p}$都有${\displaystyle p\mod 6=1}$或${\displaystyle p\mod 6=5}$。另外，除了6以外，所有的完全数在六进制中都以44结尾。

分数

十進制 Prime factors of the base: 2, 5 Prime factors of one below the base: 3 Prime factors of one above the base: 11			六進制 Prime factors of the base: 2, 3 Prime factors of one below the base: 5 Prime factors of one above the base: 11
分數	分母	Positional representation	Positional representation	分母	分數
1/2	2	0.5	0.3	2	1/2
1/3	3	0.3333... = 0.3	0.2	3	1/3
1/4	2	0.25	0.13	2	1/4
1/5	5	0.2	0.1111... = 0.1	5	1/5
1/6	2, 3	0.16	0.1	2, 3	1/10
1/7	7	0.142857	0.05	11	1/11
1/8	2	0.125	0.043	2	1/12
1/9	3	0.1	0.04	3	1/13
1/10	2, 5	0.1	0.03	2, 5	1/14
1/11	11	0.09	0.0313452421	15	1/15
1/12	2, 3	0.083	0.03	2, 3	1/20
1/13	13	0.076923	0.024340531215	21	1/21
1/14	2, 7	0.0714285	0.023	2, 11	1/22
1/15	3, 5	0.06	0.02	3, 5	1/23
1/16	2	0.0625	0.0213	2	1/24
1/17	17	0.0588235294117647	0.0204122453514331	25	1/25
1/18	2, 3	0.05	0.02	2, 3	1/30
1/19	19	0.052631578947368421	0.015211325	31	1/31
1/20	2, 5	0.05	0.014	2, 5	1/32
1/21	3, 7	0.047619	0.014	3, 11	1/33
1/22	2, 11	0.045	0.01345242103	2, 15	1/34
1/23	23	0.0434782608695652173913	0.01322030441	35	1/35
1/24	2, 3	0.0416	0.013	2, 3	1/40
1/25	5	0.04	0.01235	5	1/41
1/26	2, 13	0.0384615	0.0121502434053	2, 21	1/42
1/27	3	0.037	0.012	3	1/43
1/28	2, 7	0.03571428	0.0114	2, 11	1/44
1/29	29	0.0344827586206896551724137931	0.01124045443151	45	1/45
1/30	2, 3, 5	0.03	0.01	2, 3, 5	1/50
1/31	31	0.032258064516129	0.010545	51	1/51
1/32	2	0.03125	0.01043	2	1/52
1/33	3, 11	0.03	0.01031345242	3, 15	1/53
1/34	2, 17	0.02941176470588235	0.01020412245351433	2, 25	1/54
1/35	5, 7	0.0285714	0.01	5, 11	1/55
1/36	2, 3	0.027	0.01	2, 3	1/100

因为6是最小的两个素数2和3的乘积，许多六进制的小数都有简单的表示法：

十进制

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{7}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{9}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{10}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{11}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{14}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{15}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{16}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{18}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{20}}}$

六进制

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{10}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{11}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{13}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{14}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{15}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{20}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{22}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{23}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{24}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{30}}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{32}}}$

六进制(小數)

0.3

0.2

0.13

0.1

0.1

0.05

0.043

0.04

0.03

0.313452421

0.03

0.023

0.02

0.0213

0.02

0.014

六進制為2和3的同樣的冪，因此很容易將它們分為2和3個除法。 2的冪的倒數變為3的冪，而3的冪的倒數變為2的冪。因而对于大多分母是3的幂的分数，六进制的表示形式更简短。

冪指数	-1	-2	-3	-4	-5	-10	-11	-12	-13	-14
2	0.3	0.13	0.043	0.0213	0.01043	0.003213	0.0014043	0.00050213	0.000231043	0.0001133213
3	0.2	0.04	0.012	0.0024	0.00052	0.000144	0.0000332	0.00001104	0.000002212	0.0000004424

指數法

六進制43 = 十進制27

如果拳頭0，因為六種類型從0到5的數目可以在一個手來表示，六進制是方便用手指計數。

在這種方法中，一隻手位於一的位，另一隻手位於六的位, 計數到55（五六五 = 十進制35），100（十進制36）會導致數字溢出。例如，左手“1”和右手“5”表示“六五”即“十一”（六進制15 =十進制11）, 左手“4”和右手“3”表示“四六三”即“二十七”（六進制43 =十進制27）。

可以表示小數和假分數，如果一隻手在"一"的位，另一隻手在"六分之一"的位，則可以計算不超過5.5（5和5/6）的分數。 兩位數的小數字的一隻手放在"六分之一"的位，另一隻手放在"三十六分之一"的位。例如，如果指示“44”，則除了“六進制44 = 十進制28”之外，還可以指示“4和2/3”(4和4/6 = 六進制4.4) 和“7/9”（十進制28/36 = 六進制0.44）。

用雙手進行計數的十進制不能在15（十進制11）之後進行計數，並且可以分為2和5，但是不能分為3和4。但是，用雙手計數的六進制最多可以計數55（十進制35），並且可以分為2和3，如果擴展為雙手，則可以分為4和9(六進制13)。

三十六进制

主条目：三十六进制

在某些場合下，六进制的底數6可能太小，不便於使用。此時，若講底數6擴充至6的平方，也就是36就能緩解此問題，這個进制就是三十六进制。由於36是6的平方，因此在三十六进制中，一個位數等於六进制的兩個位數。並且兩者存在一個一對一的轉換，也就是說六进制和三十六进制之間可以透過以下對照表轉換來完成：

十进制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
六进制	0	1	2	3	4	5	10	11	12	13	14	15	20	21	22	23	24	25
三十六进制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	G	H
十进制	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35
六进制	30	31	32	33	34	35	40	41	42	43	44	45	50	51	52	53	54	55
三十六进制	I	J	K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z

三十六进制使用0-9和A-Z的符號來表示數。由於約定俗成用於表示數的阿拉伯數字與拉丁字母恰好用完，因此36也是最後一個有約定俗成表示方法的进制底數，底數高於36的进制如三十七进制就會面臨符號不夠用的問題，目前沒有公認的模式來表達底數37或以上的进制，部份文獻會把各個位數以十進制表示，並用冒號（:）分隔^[1]。

根據上表，例如三十六进制的數WIKIPEDIA₍₃₆₎（這串英文字母組合的意義是維基百科）在六進制中表示為523032304122213014₍₆₎，可以觀察到，開頭的52對應到W、30對應到I，以此類推。這個數在十进制中是91,730,738,691,298。

參考資料

1. Base Convert. [2024-06-26]. （原始内容存档于2021-07-20）.

外部链接

• 六进制转换 （页面存档备份，存于互联网档案馆）