依概率收敛

在概率论中，依概率收敛是随机变量收敛的方式之一。一个随机变量序列${\displaystyle (X_{n})_{n\geq 1}}$ 依概率收敛到某一个随机变量${\displaystyle X}$，指的是${\displaystyle X_{n}}$ 和${\displaystyle X}$ 之间存在一定差距的可能性将会随着n 的增大而趋向于零。

依概率收敛是测度论中的依测度收敛概念在概率论中的特例^[1]。

定义

设${\displaystyle (X_{n})_{n\geq 1}}$ 是一个随机变量序列，${\displaystyle X}$是一个随机变量。如果对于任意的正实数${\displaystyle \epsilon >0}$，都有：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {P} (|X-X_{n}|\geq \epsilon )=0}$

那么称序列${\displaystyle (X_{n})_{n\geq 1}}$ 依概率收敛到${\displaystyle X}$。

性质

依概率收敛是一种常见的收敛性质。依概率收敛比依分布收敛更强，比平均收敛则要弱。

如果一个随机变量序列依概率收敛到某一个随机变量，则它们也一定依分布收敛到这个随机变量。反过来则不然：只有当一个随机变量序列依分布收敛到一个常数的时候，才能够推出它们也依概率收敛到这个常数。

参见

• 大数定律
• 辛钦定理

参考来源

1. 刘文菡，刘晓辉. 可测函数列的依测度收敛在概率中的应用 (PDF). 邯郸学院学报. 2006,. 第16卷第3期.^{[永久失效連結]}

• 刘卫江. 概率论与数理统计. 北方交通大学出版社. 2005. ISBN 7-810-82451-1.
• 杨桂元. 概率论与数理统计. 电子科技大学出版社. 2002. ISBN 7-810-65871-9.