伯特蘭悖論

伯特蘭悖論是指機率論的傳統解釋所導致的悖論，由約瑟·伯特蘭在他的著作《Calcul des probabilités》(1889) 中提出。^[1]此悖論描述，當我們分析的機率課題牽涉到無限大的樣本空間時，且在使用「每個事件發生的機會皆相同」的原則時不夠謹慎，是未必能得到明確或肯定的結果的。^[2]

伯特蘭悖論的內容如下：考慮一個內接於圓的等边三角形。若隨機選圓上的弦，則此弦的長度比三角形的邊較長的機率為何？

伯特蘭給出了三個論證，全都是明顯有效的，但導致的結果都不相同。

隨機的弦，方法1；紅=比三角形的邊較長，藍=比三角形的邊較短
「隨機端點」方法：在圓周上隨機選給兩點，並畫出連接兩點的弦。為了計算問題中的機率，可以想像三角形會旋轉，使得其頂點會碰到弦端點中的一點。可觀察到，若另一個弦端點在弦會穿過三角形的一邊的弧上，則弦的長度會比三角形的邊較長。而弧的長度是圓周的三分之一，因此隨機的弦會比三角形的邊較長的機率亦為三分之一。
隨機的弦，方法2
「隨機半徑」方法：選擇一個圓的半徑和半徑上的一點，再畫出通過此點並垂直半徑的弦。為了計算問題的機率，可以想像三角形會旋轉，使得其一邊會垂直於半徑。可觀察到，若選擇的點比三角形和半徑相交的點要接近圓的中心，則弦的長度會比三角形的邊較長。三角形的邊會平分半徑，因此隨機的弦會比三角形的邊較長的機率亦為二分之一。
隨機的弦，方法3
「隨機中點」方法：選擇圓內的任意一點，並畫出以此點為中點的弦。可觀察到，若選擇的點落在半徑只有大圓的半徑的二分之一的同心圓之內，則弦的長度會比三角形的邊較長。小圓的面積是大圓的四分之一，因此隨機的弦會比三角形的邊較長的機率亦為四分之一。

上述方法可以如下圖示。每一個弦都可以被其中點唯一決定。上述三種方法會給出不同中點的分佈。方法1和方法2會給出兩種不同不均勻的分佈，而方法3則會給出一個均勻的方法。但另一方面，若直接看弦的分佈，方法2的弦會看起來比較均勻，而方法1和方法3的弦則較不均勻。

隨機的弦的中點，方法1	隨機的弦的中點，方法2	隨機的弦的中點，方法3
隨機的弦，方法1	隨機的弦，方法2	隨機的弦，方法3