五胞體數

五胞體數（Pentatope number）又稱4-多胞體數 或4-單體數，是指數量可以排成正五胞體的有形數，它在帕斯卡三角形的第五行的開始，第n行的第n個數字就是五胞體數。

從左對齊的杨辉三角形可推出五胞體數

最初的幾個數字是這樣的：

1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365, 1820, 2380, ...（OEIS數列A000332）。

一個邊長為5的五胞體數等於70。

五胞體數是一種有形數，它的計算公式為:

${\displaystyle {n+3 \choose 4}={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}={n^{\overline {4}} \over 4!}.}$

約有三分之二的五胞體數也是五角數（五邊形數）。更精確的說：第(3k − 2)個五胞體數始終是第((3k2 − k)/2)個五邊形數，而且第(3k − 1)個五胞體數始終是第((3k2 + k)/2)個五邊形數。第3k個五胞體數是廣義的五邊形數，可經由在五邊形數公式中採用負指數−(3k2 + k)/2 而求得。（這些表達式總是給整數）。^[1]

所有五胞體數的倒數之無限總和是${\displaystyle 4 \over 3}$。^[2]這可以使用嵌入級數導出。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{4! \over {n(n+1)(n+2)(n+3)}}={4 \over 3}}$

參見

• 三角形數
• 四面體數
• 六面體數
• 八胞體數

參考資料

腳註

1. Sloane, N.J.A. (编). Sequence A000332. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
2. Rockett, Andrew M., Sums of the inverses of binomial coefficients (PDF), Fibonacci Quarterly, 1981, 19 (5): 433–437 [2019-04-04], （原始内容存档 (PDF)于2020-08-09）. Theorem 2, p. 435.

其他

• 埃里克·韦斯坦因. Pentatope Number. MathWorld.
• Jutta Guts Seite über Figurierte Zahlen（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 埃里克·韦斯坦因. Pentatopzahl. MathWorld.