五胞體數

五胞体数（Pentatope number）又称4-多胞体数 或4-单体数，是指数量可以排成正五胞体的有形数，它在帕斯卡三角形的第五行的开始，第n行的第n个数字就是五胞体数。

从左对齐的杨辉三角形可推出五胞体数

最初的几个数字是这样的：

1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365, 1820, 2380, ...（OEIS数列A000332）。

一个边长为5的五胞体数等于70。

五胞体数是一种有形数，它的计算公式为:

${\displaystyle {n+3 \choose 4}={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}={n^{\overline {4}} \over 4!}.}$

约有三分之二的五胞体数也是五角数（五边形数）。更精确的说：第(3k − 2)个五胞体数始终是第((3k2 − k)/2)个五边形数，而且第(3k − 1)个五胞体数始终是第((3k2 + k)/2)个五边形数。第3k个五胞体数是广义的五边形数，可经由在五边形数公式中采用负指数−(3k2 + k)/2 而求得。（这些表达式总是给整数）。^[1]

所有五胞体数的倒数之无限总和是${\displaystyle 4 \over 3}$。^[2]这可以使用嵌入级数导出。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{4! \over {n(n+1)(n+2)(n+3)}}={4 \over 3}}$

参见

• 三角形数
• 四面体数
• 六面体数
• 八胞体数

参考资料