五十九種二十面體

《五十九種二十面體》（英語：The Fifty-Nine Icosahedra）是一本由哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特、帕特里克·杜·瓦爾（英语：Patrick du Val）、H·T·夫雷勒（英语：Flather, H. T.）和J·F·皮特里（英语：Petrie, J. F.）撰寫的主題為星形二十面體的數學書籍，書中依據杰弗裡·查爾斯·珀西·米勒（英语：J. C. P. Miller）提出的一組規則列出並介紹一些與柏拉圖正二十面體及相關凸正圖形有關連的星形多面體^[1][2]。

星狀圖（英语：stellation diagram）中間的三角形代表了原始的二十面體

這本書最早由多倫多大學於1938年出版^[1]，第二版由施普林格出版社發行，隨後於1982年K和D·克內尤（英语：D. Crennell）以相同文字重新排版、繪圖增加圖表和新的參考資料和照片，並修訂為塔奎的第三版^[3]，於1999年出版。

作者的貢獻

米勒的規則

雖然米勒對這本書沒有直接的貢獻，但他與考克斯特和皮特里是往來密切的同事。他的貢獻是他提出一套規則能從無限多種星形多面體中明確的定義出那些星形多面體是「重要且特別」的^[1]：

1. 多面體的面必須位於二十面體骨架內，即，不能超出正二十面體的邊界外^[4]。
2. 構成這個多面體的所有面都必須視同一種形狀，但是他們可以是斷開的^[5]。
3. 構成面的所有部分都必須要屬於三角對稱群，沒有則需要反射對稱。這確保了組成的多面體屬於二十面體對稱^[6]。
4. 每個面上的每一條邊都要與其他面的某條邊接在一起，並構成一個無縫隙的立體^[7]。
5. 我們從考慮把元素可以分為兩個集合的案例排除，使得每一個立體盡可能有完全圖又兼具對稱性^[8]。

考克斯特

考克斯特是推動本書完成的主要力量。他將已知的資料用一些方法比如組合數學和抽象的圖論以及當時被用在小說中的幾何環境以米勒的規則為基礎進行分析。

他觀察星座圖的許多線段，然後設計出了一個演算法來以米勒的規則控制相鄰平面區域的組合，來列舉出所有符合米勒規則的星形二十面體組合^[9]。

他繪製的圖顯示了個個確定連通的面。不同希臘字母代表可以替換的部分：

λ 可能為 3 或 4

μ 可能為 7 或 8

ν 可能為 11 或 12

派屈克·杜·瓦爾

帕特里克·杜·瓦爾（英语：Patrick du Val）藉由觀察各種星形二十面體位於“殼”的周圍的原始二十面體而設計了一種適合表達星形二十面體各個胞的符號表示法。並在這個基礎上測試米勒的規則可得到的所有可能的組合，並更加確定了考克斯特所使用的分析方法結果。

參見

• 溫尼爾二十面體模型列表 – 溫尼爾的書 《多面體模型》中收錄了21種星形二十面體
• 二十面體對稱的多面體列表
• 星形二十面體列表