乌雷松引理

在拓扑学中，乌雷松引理，有时称为“拓扑学中的第一非平凡事实”，通常用于构造正规空间上不同性质的连续函数。这个定理有广泛的应用，因为所有的度量空间和紧豪斯多夫空间都是正规的。

这个引理是以帕维尔·萨穆伊洛维奇·乌雷松命名的。

正式表述

乌雷松引理说明，${\displaystyle X}$ 是一个正规拓扑空间，当且仅当只要 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的不交闭子集，就存在一个从 ${\displaystyle X}$ 到单位区间 ${\displaystyle [0,1]}$ 的连续函数：

${\displaystyle f:X\to [0,1]}$，

使得对于所有 ${\displaystyle a\in A}$，都有 ${\displaystyle f(a)=0}$，而对于所有 ${\displaystyle b\in B}$，都有 ${\displaystyle f(b)=1}$。

任何满足这个性质的函数f都称为乌雷松函数。

注意 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 以外的元素 ${\displaystyle x\notin A\cup B}$ 並不需要使得 ${\displaystyle f(x)\neq 0}$ 或 ${\displaystyle f(x)\neq 1}$。这只在完备正规空间中才有可能。

乌雷松引理导致了其它拓扑空间，例如「吉洪诺夫性质」和「完全豪斯多夫空间」的表述。例如，这个引理的一个推论是：正规的T₁空间是吉洪诺夫空间。

证明

乌雷松的洋葱函数。

对于每一个二进分数 ${\displaystyle r\in (0,1)}$，我们构造 ${\displaystyle X}$ 的一个开子集 ${\displaystyle U(r)}$，使得：

1. ${\displaystyle A\subseteq U(r)}$，且对于所有的 ${\displaystyle r}$，${\displaystyle U(r)\cap B=\varnothing }$；
2. 对于 ${\displaystyle r<s}$，${\displaystyle U(r)}$ 的閉包位于 ${\displaystyle U(s)}$ 内。

有了这些集合以后，我们便定义 ${\displaystyle f(x)=\inf _{x\in U(r)}r}$ 对于所有 ${\displaystyle x\in X}$。利用二进有理数是稠密的事实，便不难证明 ${\displaystyle f}$ 是连续的，且具有性质 ${\displaystyle f(A)\subseteq \{0\}}$ 和 ${\displaystyle f(B)\subseteq \{1\}}$。

为了构造集合 ${\displaystyle U(r)}$，我们还需要做更多事情：我们构造集合 ${\displaystyle U(r)}$ 和 ${\displaystyle V(r)}$，使得：

• 对于所有的 ${\displaystyle r}$，都有 ${\displaystyle A\subseteq U(r)}$ 且 ${\displaystyle B\subseteq V(r)}$；
• 对于所有的 ${\displaystyle r}$，${\displaystyle U(r)}$ 和 ${\displaystyle V(r)}$ 都是开集和不交的；
• 对于 ${\displaystyle r<s}$，${\displaystyle V(s)}$ 包含在 ${\displaystyle U(r)}$ 的补集之内，而 ${\displaystyle V(r)}$ 的补集包含在 ${\displaystyle U(s)}$ 之内。

由于 ${\displaystyle V(r)}$ 的补集是闭集，且含有 ${\displaystyle U(r)}$，因此从最后一个条件可以推出上面的条件 (2)。

我们使用数学归纳法。由于 ${\displaystyle X}$ 是正规的，我们便可以找出两个不交的开集 ${\displaystyle U(1/2)}$ 和 ${\displaystyle V(1/2)}$，分别含有 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$。现在假设 ${\displaystyle n\geq 1}$，且集合 ${\displaystyle U(a/2^{n})}$ 和 ${\displaystyle V(a/2^{n})}$ 对于 ${\displaystyle a=1,\ldots ,2^{n}-1}$ 已经构造了。由于 ${\displaystyle X}$ 是正规的，我们便可以找出两个不交的开集，分别含有 ${\displaystyle V(a/2^{n})}$ 的补集和 ${\displaystyle U((a+1)/2^{n})}$ 的补集。称这两个开集为 ${\displaystyle U((2a+1)/2^{n+1})}$ 和 ${\displaystyle V((2a+1)/2^{n+1})}$，并验证以上的三个条件成立。

参考文献

• proof of Urysohn's lemma. PlanetMath.