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(換言之, 是單射、 是滿射,且 ;是故可視 為 的正規子群,。)則稱群 為 的群擴張,或稱 對 的扩张。
由短正合序列的同構關係,可以定義群擴張的等價類。若某個群擴張等價於
則稱此擴張為平凡擴張。當 落在 的中心時,稱之為中心擴張。
一般的群擴張不易分類。若限定 為阿貝爾群,則 對 的擴張等價類一一對應於 (參見條目 Ext函子)。
另一方面,若在群擴張 中, 為阿貝爾群,可任取一截面 (s 不一定是群同態),群 以共軛方式 在 上作用。這類擴張的等價類由群上同調 分類,並具有自然的群結構。最常見的例子是中心擴張。
利用同樣作法,也可以定義李代數的擴張。此即李代數的正合序列
若 ,稱之為中心擴張。
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