上界和下界

設${\displaystyle (A,\leq )}$為一個偏序集，若存在${\displaystyle y\in A}$，能滿足${\displaystyle \forall x\in B\subseteq A}$都有${\displaystyle x\leq y}$，則${\displaystyle y}$稱作集合${\displaystyle B}$的上界，若存在${\displaystyle z\in A}$，能滿足${\displaystyle \forall x\in B\subseteq A}$都有${\displaystyle x\geq z}$，則${\displaystyle z}$稱作${\displaystyle B}$的下界。

例如在實變數中，若存在一個實數${\displaystyle b}$，能滿足${\displaystyle \forall x\in S\subseteq R}$都有${\displaystyle x\leq b}$，則${\displaystyle b}$即為集合${\displaystyle S}$的上界，若存在一個實數${\displaystyle c}$，能滿足${\displaystyle \forall x\in S\subseteq R}$都有${\displaystyle x\geq c}$，則${\displaystyle c}$即為集合${\displaystyle S}$的下界。

性質

连续性公理：在非空实数集中，若含上界，則必含最小上界（上确界）；若含下界，則必存在最大下界（下确界)。^[1]