逻辑与

在逻辑和数学中，逻辑合取或逻辑与或且是一个二元逻辑運算符。如果其两个变量的真值都为“真”，其结果为“真”，否则其结果为“假”。^[1][2][3]

文氏图 ${\displaystyle A\land B}$

相关名称

基本符号：${\displaystyle \land }$

英文名：logical conjunction

中文名：逻辑与，合取，交集，按位与，逻辑乘，与门，...

命题逻辑中的二元连接词合取，是一个两元算子，集合论中的交集算子，二进制中的逻辑乘算子，按位与（Bitwise AND），逻辑门中的“与”门（AND gate），编程语言中的&或and运算符等等。

基本定义

逻辑与（logical conjunction）是两个逻辑变量的一种运算，经常是两个命题的运算。它满足：当且仅当其两个变量的真值都为真时，其结果为真。

逻辑与${\displaystyle \land }$是个二元算子，运算结果取值为真的条件是，当且仅当两个命题的取值都真时。命题是取值要么是真要么是假的二值语句，没有第三种取值，或说值域为{真，假}或是{T,F}或是{0,1}。未知真又未知假的语句是猜想；既真又假，既不真又不假的语句是悖论。

复合命题${\displaystyle ~A\land B}$，读作A合取B，在GCT逻辑中，也叫联言命题。也有称为合取命题的。

真值表定义

A与B的真值表（也写作A${\displaystyle \land }$B（逻辑学），A && B（计算机科学），或A${\displaystyle \cdot }$B（电子学））。

${\displaystyle ~A\land B}$ 的真值表:

输入		输出
${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\land B}$
真	真	真
真	假	假
假	真	假
假	假	假

推理規則

合成与分解规则

合取引入规则

合取引入规则（∧+）（conjunction introduction rule）或联言推理的合成式，是经典逻辑中简单且有效的论证形式。这个论证形式有两个前提，A和B，可以直观地推出他们的合取。

其形式如下：

A,

B.

因此A且B.

形式化为：

${\displaystyle \mathbf {A} ,}$

${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \vdash A\land B}$

下面的例子是满足联言推理的合成式的论证：

小橘子是正妹。

小橘子是車神。

因此小橘子是正妹也是車神。

另一個例子如下：

1小于2

6大于5

因此，1小于2，而且6大于5。

還有一個例子如下：

有一些PSPACE問題不是NL問題

有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題

因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題

合取消去规则

合取消去规则（∧-）（Conjunction elimination rule）或联言推理的分解式，是另一个在经典逻辑中简单且有效的论证形式。从任何合取式中都可以直观地推论出两个前提中的任意一个。

其形式如下：

A且B。

因此A。

...或者，

A且B.

因此B.

用逻辑运算符描述为，

形式化为:

${\displaystyle A\land B}$

${\displaystyle \vdash A}$

或者,

${\displaystyle A\land B}$

${\displaystyle \vdash B}$

例如:

有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題

因此有一些PSPACE問題不是NL問題

或者

有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題

因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題

另一個例子如下：

1小于2，而且6大于5。

因此1小于2。

或者

1小于2，而且6大于5。

因此6大于5。

還有一個例子如下：

小橘子是正妹也是車神。

因此小橘子是正妹。

或者

小橘子是正妹也是車神。

因此小橘子是車神。

性质

逻辑与满足以下性质：

• 结合律: ${\displaystyle A\land (B\land C)\equiv (A\land B)\land C}$

• 交换律: ${\displaystyle A\land B\equiv B\land A}$

• 分配律: ${\displaystyle (A\land (B\lor C))\equiv ((A\land B)\lor (A\land C))}$

${\displaystyle (A\lor (B\land C))\equiv ((A\lor B)\land (A\lor C))}$

• 幂等律: ${\displaystyle A\land A\equiv A}$

• 单调性: ${\displaystyle (A\rightarrow B)\rightarrow ((C\land A)\rightarrow (C\land B))}$

${\displaystyle (A\rightarrow B)\rightarrow ((A\land C)\rightarrow (B\land C))}$

• 保真性: 所有变量的真值皆为“真”的命题在逻辑与运算后的结果为真。

• 保假性: 所有变量的真值皆为“假”的命题在逻辑与运算后的结果为假。

如果用二进制来表达真（1）和假（0），逻辑与运算与算术乘法运算一致。

计算机科学中的运用

与门

位运算

逻辑与常在位运算中使用，比如：

• 0 and 0 = 0
• 0 and 1 = 0
• 1 and 0 = 0
• 1 and 1 = 1

• 1100 and 1010 = 1000

编程中的使用

在高等计算机编程中，逻辑合取“与”通常由内置算符and或&号来表达。很多编程语言还提供与逻辑与相应的短路求值控制结构。

布尔“与”也在SQL的运算符中使用。有些数据库区分大小写，需要"AND"符号。

在计算机科学中，AND运算符可以用来构造位屏蔽，以选择二进制序列的一部分。比如10011101 AND 00001000 = 00001000用来取二进制序列的第五位。

交集运算

集合论中的交运算是用逻辑与来定义的：x ∈ A ∩ B当且仅当(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)。因此逻辑与有很多与交集运算相同的性质，诸如结合律，交换律，分配律，及德·摩根定律。

註釋

1. Comprehensive List of Logic Symbols. Math Vault. 2020-04-06 [2020-09-02]. （原始内容存档于2021-05-13） （美国英语）.
2. Conjunction, Negation, and Disjunction. philosophy.lander.edu. [2020-09-02]. （原始内容存档于2021-04-21）.
3. 2.2: Conjunctions and Disjunctions. Mathematics LibreTexts. 2019-08-13 [2020-09-02]. （原始内容存档于2020-11-05） （英语）.

参见

• 与门

相关网页

• Wolfram Mathematics Conjunction （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• All Math Words Encyclopedia Conjunction （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Hazewinkel, Michiel (编), Conjunction, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• Property and truth table of AND propositions. （原始内容存档于May 6, 2017）.

template:Common logical symbols（英语：template:Common logical symbols）