快速选择

在计算机科学中，快速选择（英語：Quickselect）是一种从无序列表找到第k小元素的选择算法。它从原理上来说与快速排序有关。与快速排序一样都由托尼·霍尔提出的，因而也被称为霍尔选择算法。^[1] 同样地，它在实际应用是一种高效的算法，具有很好的平均时间复杂度，然而最坏时间复杂度则不理想。快速选择及其变种是实际应用中最常使用的高效选择算法。

快速选择
快速选择算法的动画演示：选择第22小的元素。（注意：这和条目中的算法不完全相同）
概况
類別	选择算法
資料結構	数组
复杂度
平均時間複雜度	O(n)
最坏时间复杂度	О(n2)
最优时间复杂度	О(n)
空間複雜度	O(1)
相关变量的定义

快速选择的总体思路与快速排序一致，选择一个元素作为基准来对元素进行分区，将小于和大于基准的元素分在基准左边和右边的两个区域。不同的是，快速选择并不递归访问双边，而是只递归进入一边的元素中继续寻找。这降低了平均时间复杂度，从O(n log n)至O(n)，不过最坏情况仍然是O(n²)。

与快速排序一样，快速选择一般是以原地算法的方式实现，除了选出第k小的元素，数据也得到了部分地排序。

算法

快速排序中，有一个子过程称为分区，可以在线性时间里将一个列表分为两部分（left和right），分别是小于基准和大于等于基准的元素。下面是以list[pivotIndex]进行分区的伪代码：

 function partition(list, left, right, pivotIndex)
     pivotValue := list[pivotIndex]
     swap list[pivotIndex] and list[right]  // Move pivot to end
     storeIndex := left
     for i from left to right-1
         if list[i] < pivotValue
             swap list[storeIndex] and list[i]
             increment storeIndex
     swap list[right] and list[storeIndex]  // Move pivot to its final place
     return storeIndex

在快速排序中，我们递归地对两个分支进行排序，导致最佳时间复杂度为O(n log n)。然而，在快速选择中，虽然大部分元素仍是乱序的，但是基准元素已经在最终排序好的位置上，所以我们知道想找的元素在哪个分区中。 因此，一个递归循环分支就能帮助我们定位想找的元素，从而得到快速选择的算法：

  // Returns the k-th smallest element of list within left..right inclusive
  // (i.e. left <= k <= right).
  // The search space within the array is changing for each round - but the list
  // is still the same size. Thus, k does not need to be updated with each round.
  function select(list, left, right, k)
     if left = right        // If the list contains only one element,
         return list[left]  // return that element
     pivotIndex  := ...     // select a pivotIndex between left and right,
                            // e.g., left + floor(rand() % (right - left + 1))
     pivotIndex  := partition(list, left, right, pivotIndex)
     // The pivot is in its final sorted position
     if k = pivotIndex
         return list[k]
     else if k < pivotIndex
         return select(list, left, pivotIndex - 1, k)
     else
         return select(list, pivotIndex + 1, right, k)

注意到与快速排序的相似之处：就像基于寻找最小值的选择算法是部分选择排序，这可以认为是部分快速排序，只进行O(n log n)而不是O(n)次分区。这个简单的过程具有预期的线性时间复杂度，并且如快速排序一样有相当良好的实际表现。 这也是一个原地算法，只需要栈内常数级的内存，或者可以用循环来去掉尾递归：

 function select(list, left, right, k)
     loop
         if left = right
             return list[left]
         pivotIndex := ...     // select pivotIndex between left and right
         pivotIndex := partition(list, left, right, pivotIndex)
         if k = pivotIndex
             return list[k]
         else if k < pivotIndex
             right := pivotIndex - 1
         else
             left := pivotIndex + 1

时间复杂度

与快速排序类似，快速选择算法在平均状况下有着不错的表现，但是对于基准值的选择十分敏感。如果基准值选择上佳，搜索范围每次能够指数级减少，这样一来所耗时间是线性的(即O(n))。但如果基准值选择非常不好，使得每次只能将搜索范围减少一个元素，则最糟的总体时间复杂度是平方级的(O(n²))：例如对一个升序排列的数组搜索其最大值，而每次都选择第一个元素作为基准值。

算法变体

最简单的快速排序变化是每次随机选择基准值，这样可以达到近乎线性的复杂度。更为确定的做法是采用“取三者中位数”^[2]的基准值选择策略，这样对已部分排序的数据依然能够达到线性复杂度。但是，特定人为设置的数组在此方法下仍然会导致最差时间复杂度，如大卫·穆塞尔（英语：David Musser）所描述的“取三者中位数杀手”数列，这成为他发表反省式选择（英语：introselect）算法的动机。

利用中位数的中位数（英语：Median of medians）算法，可以在最坏情形下依然保证线性时间复杂度。但是这一方法中的基准值计算十分复杂，实际应用中并不常见。改进方法是在快速选择算法的基础上，使用“中位数的中位数”算法处理极端特例，这样可以保证平均状态与最差情形下的时间复杂度都是线性的，这也是反省式选择（英语：introselect）算法的做法。

精确计算下，随机选择基准值策略最差会导致${\displaystyle n(2+2\log 2+o(1))\leq 3.4n+o(n)}$复杂度。采用Floyd–Rivest算法（英语：Floyd–Rivest algorithm）可以使这一常数进一步减少，在最坏情形下达到 ${\displaystyle 1.5n+O(n^{1/2})}$。

参考文献

1. Hoare, C. A. R. Algorithm 65: Find. Comm. ACM. 1961, 4 (7): 321–322. doi:10.1145/366622.366647.
2. 存档副本. [2017-03-07]. （原始内容存档于2021-01-24）.