無窮級數 中1 + 2 + 3 + 4 + … 為所有自然数 的和,是一个发散级数 ,其數學式也寫作
∑
n
=
1
∞
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n}
橫軸為1, 2, 3, 4, ⋯,縱軸為相應於橫軸的級數1 + 2 + 3 + 4 + ⋯之部分和。圖中曲線為平滑後之漸近線,其與縱軸相交的截距值為−1 ⁄12
此級數前 n 项的部分和 即是三角形數 :
∑
k
=
1
n
k
=
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}}
尽管這個级数的和第一眼看起来不会有任何有意义的值,透過黎曼ζ函數正規化 與拉馬努金求和 等方法可產生一有限值
−
1
12
{\displaystyle -{\frac {1}{12}}}
,表示為:
1
+
2
+
3
+
4
+
⋯
=
−
1
12
{\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}}
此結果在复分析 、量子力学 及弦理论 等領域中有所应用。
部分和公式的证明
自然数從 1 加到 n 的和是
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}
能用许多方法证明。首先令
S
n
=
1
+
2
+
3
+
4
+
⋯
+
(
n
−
2
)
+
(
n
−
1
)
+
n
.
{\displaystyle S_{n}=1+2+3+4+\cdots +(n-2)+(n-1)+n.\,}
我们将这些项重排反着写:
S
n
=
n
+
(
n
−
1
)
+
(
n
−
2
)
+
⋯
+
4
+
3
+
2
+
1.
{\displaystyle S_{n}=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +4+3+2+1.\,}
将两者相加,对应项相加,我们得到
2
S
n
=
(
n
+
1
)
+
[
(
n
−
1
)
+
2
]
+
[
(
n
−
2
)
+
3
]
+
⋯
+
[
3
+
(
n
−
2
)
]
+
[
2
+
(
n
−
1
)
]
+
(
1
+
n
)
⏟
n
,
{\displaystyle 2S_{n}=\underbrace {(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+\cdots +[3+(n-2)]+[2+(n-1)]+(1+n)} _{n},}
2
S
n
=
(
n
+
1
)
+
(
n
+
1
)
+
(
n
+
1
)
+
⋯
+
(
n
+
1
)
+
(
n
+
1
)
+
(
n
+
1
)
⏟
n
,
{\displaystyle 2S_{n}=\underbrace {(n+1)+(n+1)+(n+1)+\cdots +(n+1)+(n+1)+(n+1)} _{n},}
2
S
n
=
n
⋅
(
n
+
1
)
,
{\displaystyle 2S_{n}=n\cdot (n+1),}
S
n
=
n
(
n
+
1
)
2
.
{\displaystyle S_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}.}
ζ函数的求和与解析连续性
当 s 的实部大于 1,s 次方的黎曼ζ函数 等于求和
∑
n
=
1
∞
n
−
s
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{n^{-s}}}
。当 s 的实部小于或等于 1 时和式发散,但当 s = −1 时 由 ζ(s) 的解析延拓 给出 ζ(−1) 为
−
1
12
{\displaystyle -{\frac {1}{12}}}
。
1 + 2 + 3 + 4 + … 的和不存在,但拉马努金另外給其定義,其拉马努金求和 的结果為
−
1
12
{\displaystyle -{\frac {1}{12}}}
[ 1] 。
物理
在玻色弦理論 中,我们想算出一个弦的可能的能量级,特别是最低能量级。非正式地说,每一个弦的谐波可以视为一组
D
{\displaystyle D}
无关量子谐振子 ,这里
D
{\displaystyle D}
是时空的维数。如果基本振子频率是
ω
{\displaystyle \omega }
则一个振子对
n
{\displaystyle n}
级谐波的贡献是
n
ℏ
ω
2
{\displaystyle {\frac {n\hbar \omega }{2}}}
。所以利用发散级数我们发现在所有谐波上求和是
−
ℏ
ω
(
D
−
2
)
24
{\displaystyle -{\frac {\hbar \omega (D-2)}{24}}}
。最后这确实是正确的,与Goddard–Thorn theorem 一起,导致波色弦理论在维数不为 26 时是不一致的。
一个类似的计算是计算卡西米尔力 。
历史
在拉马努金 写给戈弗雷·哈羅德·哈代 的第二封信中(日期为1913年2月27日):
“亲爱的先生,我很感激地读到你1913年2月8日的信。我等待您的答复,类似于一个伦敦的数学教授写信要我仔细研究布羅米奇 的“无穷级数”而不要陷入发散级数的陷阱。……我告诉他,在我的理论中一个无穷数列
1
+
2
+
3
+
4
+
⋯
=
−
1
12
{\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}}
。如果我告诉你这个,你肯定会劝我进精神病收容院。我向你细说此事只是使你相信,如果我暗示我只在一封信中所写的行数,你不可能找出我证明的方法。」[ 2]
注释
Berndt et al p.53. "Bromwich" 处链接为编辑所加并作了一些版式改动。
引用
延伸阅读
外部链接