高斯消去法

高斯消去法（英語：Gaussian Elimination）是线性代数中的一个算法，可以把矩阵转化为行阶梯形矩阵。^[1]高斯消去法可用來為線性方程組求解，求出矩陣的秩，以及求出可逆方陣的逆矩陣。

提示：此条目的主题不是高斯-若爾當消元法。

历史

该方法以数学家卡尔·高斯命名，但最早出现于中国古籍《九章算术》，成书于约公元前150年。^[2]

例子

高斯消去法可用來找出下列方程組的解或其解的限制： ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}2x+y-z=8\quad (L_{1})\\-3x-y+2z=-11\quad (L_{2})\\-2x+y+2z=-3\quad (L_{3})\\\end{matrix}}\right.}$

這個算法的原理是：

首先，要將${\displaystyle L_{1}}$以下的等式中的${\displaystyle x}$消除，然後再將${\displaystyle L_{2}}$以下的等式中的${\displaystyle y}$消除。這樣可使整个方程組變成一個三角形似的格式。之後再將已得出的答案一個個地代入已被簡化的等式中的未知數中，就可求出其餘的答案了。

在剛才的例子中，我們將${\displaystyle {\frac {3}{2}}L_{1}}$和${\displaystyle L_{2}}$相加，就可以將${\displaystyle L_{2}}$中的${\displaystyle x}$消除了。然後再將${\displaystyle L_{1}}$和${\displaystyle L_{3}}$相加，就可以將${\displaystyle L_{3}}$中的${\displaystyle x}$消除。

我們可以這樣寫：

${\displaystyle L_{2}+{\frac {3}{2}}L_{1}\rightarrow L_{2}}$

${\displaystyle L_{3}+L_{1}\rightarrow L_{3}}$

結果就是：

${\displaystyle 2x+y-z=8\,}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}y+{\frac {1}{2}}z=1\,}$

${\displaystyle 2y+z=5\,}$

現在將${\displaystyle -4L_{2}}$和${\displaystyle L_{3}}$相加，就可將${\displaystyle L_{3}}$中的${\displaystyle y}$消除：

${\displaystyle L_{3}+-4L_{2}\rightarrow L_{3}}$

其結果是：

${\displaystyle 2x+y-z=8\,}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}y+{\frac {1}{2}}z=1\,}$

${\displaystyle -z=1\,}$

這樣就完成了整個算法的初步，一個三角形的格式（指：變數的格式而言，上例中的變數各為3,2,1個）出現了。

第二步，就是由尾至頭地將已知的答案代入其他等式中的未知數。第一個答案就是：

${\displaystyle z=-1\quad (L_{3})}$

然後就可以將${\displaystyle z}$代入${\displaystyle L_{2}}$中，立即就可得出第二個答案：

${\displaystyle y=3\quad (L_{2})}$

之後，將${\displaystyle z}$和${\displaystyle y}$代入${\displaystyle L_{1}}$之中，最後一個答案就出來了：

${\displaystyle x=2\quad (L_{1})}$

就是這樣，這個方程組就被高斯消去法解決了。

這種算法可以用來解決所有線性方程組。即使一個方程組不能被化為一個三角形的格式，高斯消去法仍可找出它的解。例如，如果在第一步化簡後，${\displaystyle L_{2}}$及${\displaystyle L_{3}}$中沒有出現任何${\displaystyle y}$，沒有三角形的格式，照著高斯消去法而產生的格式仍是一個行阶梯形矩阵。這情況之下，這個方程組會有超過一個解，當中會有至少一個變數作為答案。每當變數被鎖定，就會出現一個解。

通常人或電腦在應用高斯消去法的時候，不會直接寫出方程組的等式來消去未知數，反而會使用矩陣來計算。以下就是使用矩陣來計算的例子：

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]}$

跟著以上的方法來運算，這個矩陣可以轉變為以下的樣子：

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]}$

這矩陣叫做「行阶梯形矩阵」。

最後，可以利用同樣的算法產生以下的矩陣，便可把所得出的解或其限制簡明地表示出來：

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]}$

最後這矩陣叫做「簡化行阶梯形矩阵」，亦是高斯-若爾當消元法指定的步驟。^[3]

其他應用

找出逆矩陣

高斯消去法可以用來找出一個可逆矩陣的逆矩陣。設${\displaystyle A}$為一個${\displaystyle n\times n}$的矩陣，其逆矩陣可被兩個分塊矩陣表示出來。將一個${\displaystyle n\times n}$ 單位矩陣放在${\displaystyle A}$的右手邊，形成一個${\displaystyle n\times 2n}$的分塊矩陣${\displaystyle B=[A,I]}$。經過高斯消去法的計算程序後，矩陣${\displaystyle B}$的左手邊會變成一個單位矩陣${\displaystyle I}$，而逆矩陣${\displaystyle A^{-1}}$會出現在${\displaystyle B}$的右手邊。

假如高斯消去法不能將${\displaystyle A}$化為三角形的格式，那就代表${\displaystyle A}$是一個不可逆的矩陣。

應用上，高斯消去法極少被用來求出逆矩陣。高斯消去法通常只為線性方程組求解。^[4]

計出秩和基底的基本算法

高斯消去法可應用在任何${\displaystyle m\times n}$的矩陣${\displaystyle A}$。在不可減去某數的情況下，我們都只有跳到下一行。以一個${\displaystyle 6\times 9}$的矩陣作例，它可能可以變化為一個行阶梯形矩阵：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&*&0&0&*&*&0&*&0\\0&0&1&0&*&*&0&*&0\\0&0&0&1&*&*&0&*&0\\0&0&0&0&0&0&1&*&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

而矩陣中的*是一些數字。這個行阶梯形矩阵${\displaystyle T}$會有一些關於${\displaystyle A}$的資訊：

• ${\displaystyle A}$的秩是5，因為${\displaystyle T}$有5行非0的行；
• ${\displaystyle A}$的列空間Col(A)，將以${\displaystyle A}$的第1、3、4、7和9行為基底，就是那些在矩陣${\displaystyle T}$之中擁有主元的行；
• 矩陣中的*表示了${\displaystyle A}$的該行如何寫為上述基底的線性組合。

分析

高斯消去法的算法复杂度是O(n³)；这就是说，如果系數矩阵的是n × n，那么高斯消去法所需要的计算量大约与n³成比例。

高斯消去法可以用在電腦中來解決數千條等式及未知數。不過，如果有過百萬條等式時，這個算法會十分費時。一些極大的方程組通常會用迭代法來解決。亦有一些方法特地用來解決一些有特別排列的係數的方程組。

高斯消去法可用在任何域中。

高斯消去法對於一些矩陣來說是穩定的。對於普遍的矩陣來說，高斯消去法在應用上通常也是穩定的，不過亦有例外。^[5]

伪代码

高斯消去法的其中一种伪代码：

 i = 1
 j = 1
 while (i ≤ m and j ≤ n) do
   Find pivot in column j, starting in row i    // 从第i行(row)开始，找出第j列(column )中的最大值（i、j值应保持不变）  #台湾与大陆的列、行定义相反。台湾列为row行为column，大陆列为column行为row。
   maxi = i
   for k = i+1 to m do
     if abs(A[k,j]) > abs(A[maxi,j]) then
       maxi = k   // 使用交换法找出最大值（绝对值最大）
     end if
   end for
   if A[maxi,j] ≠ 0 then  // 判定找到的绝对值最大值是否为零：若不为零就进行以下操作；若为零则说明该列第(i+1)列以下（包括第(i+1)列）均为零，不需要再处理，直接跳转至第(j+1)行第(i+1)列
     swap rows i and maxi, but do not change the value of i   // 将第i行与找到的最大值所在行做交换，保持i值不变（i值记录了本次操作的起始行）
     Now A[i,j] will contain the old value of A[maxi,j].
     divide each entry in row i by A[i,j]    // 将交换后的第i列归一化（第i列所有元素分别除以A[i,j]）
     Now A[i,j] will have the value 1.
     for u = i+1 to m do    // 第j行中，第(i+1)列以下（包括第(i+1)列）所有元素都减去A[i,j]，直到第j行的i+1列以後元素均為零
       subtract A[u,j] * row i from row u
       Now A[u,j] will be 0, since A[u,j] - A[i,j] * A[u,j] = A[u,j] - 1 * A[u,j] = 0.
     end for
     i = i + 1   
   end if
   j = j + 1  // 第j行中，第(i+1)列以下（包括第(i+1)列）所有元素均为零。移至第(j+1)行，从第(i+1)列开始重复上述步骤。
 end while

这个算法和之前谈到的有点不同，它由绝对值最大的部分开始做起，这样可以改善算法的稳定性。本算法由左至右地计算，每作出以下三个步骤，才跳到下一行和下一列：

1. 定出每行的绝对值最大的一个非0的数，将第一列的值与该列交换，使得第一列拥有这一行的最大值；
2. 将第一行的数字除以该数，使得该列的第一个数成为1；
3. 對每一列減去第一列乘以每一列的第一個數，使得每一列的第一個數變為0。

所有步骤完成后，这个矩阵会变成一个行阶梯形矩阵，再用代入法就可以求解该方程组。

随着多核处理器的日益普及，现在的程序员可以利用线程级并行高斯消元算法来提高计算的速度。内存共享模式（而不是消息交换模式）的伪代码如下所示：

void parallel(int num_threads,int matrix_dimension)
{
	int i;
	for(i=0; i<num_threads; i++)
		create_thread(&threads[i],i);
	pthread_attr_destroy(&attr); // Free attribute and wait for the other threads
	for(i=0; i<p; i++)
		pthread_join(threads[i],NULL);
}
void *gauss(int thread_id)
{
	int i,k,j;
	for(k=0; k<matrix_dimension-1; k++)
	{
		if(thread_id==(k%num_thread))  //interleaved-row work distribution
		{
			for(j=k+1; j<matrix_dimension; j++)
				M[k][j]=M[k][j]/M[k][k];
			M[k][k]=1;
		}
		barrier(num_thread,&mybarrier);      //wait for other thread finishing this round
		for(i=k+1; i<matrix_dimension; i=i+1)
			if(i%p==thread_id)
			{
				for(j=k+1; j<matrix_dimension; j++)
					M[i][j]=M[i][j]-M[i][j]*M[k][j];
				M[i][k]=0;
			}
		barrier(num_thread,&mybarrier);
	}
	return NULL;
}
void barrier(int num_thread, barrier_t * mybarrier)
{
	pthread_mutex_lock(&(mybarrier->barrier_mutex));
	mybarrier->cur_count++;
	if(mybarrier->cur_count!=num_thread)
		pthread_cond_wait(&(mybarrier->barrier_cond),&(mybarrier->barrier_mutex));
	else
	{
		mybarrier->cur_count=0;
		pthread_cond_broadcast(&(mybarrier->barrier_cond));
	}
	pthread_mutex_unlock(&(mybarrier->barrier_mutex));
}

參考文獻

1. Steven J. Leon. Linear Algebra With Applications. 培生教育. 2014: 第13頁. ISBN 9781292025148.
2. 第八章 方程. 《九章算术》. 150bc [2007年12月25日]. （原始内容存档于2009年4月19日）. 请检查|date=中的日期值 (帮助)
3. Steven J. Leon. Linear Algebra With Applications. 培生教育. 2014: 第17頁. ISBN 9781292025148.
4. Atkinson, 1989年，第514頁
5. Golub and Van Loan, §3.4.6

• Atkinson, Kendall A. An Introduction to Numerical Analysis, 第二版, John Wiley & Sons, New York, 1989年 ISBN 978-0-471-50023-0
• Golub, Gene H., and Van Loan, Charles F. Matrix computations, 第三版, Johns Hopkins, Baltimore, 1996年 ISBN 978-0-8018-5414-9
• Lipschutz, Seymour, and Lipson, Mark. Schaum's Outlines: Linear Algebra, Tata McGraw-hill edition.Delhi 2001年, 第69-80頁

參見

• 高斯－約當消去法
• 行阶梯形矩阵
• 線性方程組求解
• 四元玉鑒

外部链接

• 高斯消去法 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• java applet高斯消去法，只能取自然数。
• matlab octave的高斯约当消去法
• python语言的高斯消去法 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 中國大百科智慧藏-消元法