高斯曲率定義於曲面上的度量 / 維基百科,自由的 encyclopedia 親愛的 Wikiwand AI, 讓我們通過簡單地回答這些關鍵問題來保持簡短:你能列出最重要的事實和統計數據嗎 高斯曲率?為 10 歲的孩子總結這篇文章顯示所有問題微分几何中,曲面上一点的高斯曲率是该点主曲率κ1和κ2的乘积。它是曲率的内在度量,也即,它的值只依赖于曲面上的距离如何测量,而不是曲面如何嵌入到空间。这个结果是高斯绝妙定理的主要内容。 由左至右:负高斯曲率曲面(双曲面),零高斯曲率曲面(圆柱面),和正高斯曲率曲面(球面)。 用符号表示,高斯曲率K定义为 K = κ 1 κ 2 {\displaystyle \mathrm {K} =\kappa _{1}\kappa _{2}\,\!} . 也可以如下给出 K = ⟨ ( ∇ 2 ∇ 1 − ∇ 1 ∇ 2 ) e 1 , e 2 ⟩ det g , {\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {\langle (\nabla _{2}\nabla _{1}-\nabla _{1}\nabla _{2})\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\rangle }{\det g}},} 其中 ∇ i = ∇ e i {\displaystyle \nabla _{i}=\nabla _{{\mathbf {e} }_{i}}} 是协变导数而g是度量张量。 R3中的正规曲面的一点p,则高斯曲率为 K ( p ) = det ( S ( p ) ) , {\displaystyle K(\mathbf {p} )=\det(S(\mathbf {p} )),} 其中S为形算子。 关于高斯曲率的一个很有用的公式是用等温坐标中的拉普拉斯算子表达的刘维尔方程。
微分几何中,曲面上一点的高斯曲率是该点主曲率κ1和κ2的乘积。它是曲率的内在度量,也即,它的值只依赖于曲面上的距离如何测量,而不是曲面如何嵌入到空间。这个结果是高斯绝妙定理的主要内容。 由左至右:负高斯曲率曲面(双曲面),零高斯曲率曲面(圆柱面),和正高斯曲率曲面(球面)。 用符号表示,高斯曲率K定义为 K = κ 1 κ 2 {\displaystyle \mathrm {K} =\kappa _{1}\kappa _{2}\,\!} . 也可以如下给出 K = ⟨ ( ∇ 2 ∇ 1 − ∇ 1 ∇ 2 ) e 1 , e 2 ⟩ det g , {\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {\langle (\nabla _{2}\nabla _{1}-\nabla _{1}\nabla _{2})\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\rangle }{\det g}},} 其中 ∇ i = ∇ e i {\displaystyle \nabla _{i}=\nabla _{{\mathbf {e} }_{i}}} 是协变导数而g是度量张量。 R3中的正规曲面的一点p,则高斯曲率为 K ( p ) = det ( S ( p ) ) , {\displaystyle K(\mathbf {p} )=\det(S(\mathbf {p} )),} 其中S为形算子。 关于高斯曲率的一个很有用的公式是用等温坐标中的拉普拉斯算子表达的刘维尔方程。