在數學中,隱式方程(英語:implicit equation)是形同的關係,其中是多元函數。比如單位圓的隱式方程是。
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隱函数(implicit function)是由隱式方程間接定義的函數,比如 是由 確定的函數。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数,也就是通常所说的函数,如。
隱函數定理說明了隱式方程在什麼情況下會給出定義良好的隱函數。
一个代数函数是满足自身多项式系数的多项式方程的函数。例如,单变量 的代数函数给出一个方程中 的解。
其中係數 為 的多項式函數。
代數函數在數學分析和代数几何中扮演重要角色,我們再拿單位圓方程式來當作代數函數的範例:
那麼 的顯函數解顯然是:
但其實我們不一定要把它的顯函數解寫出來,它也可以直接利用隱函數來表達。
對於y的二次、三次和四次方程,可以找到只包含有限次四則運算和開方運算的顯函數解, 但這并不适用于包括五次在内的更高次数的方程(參見阿贝尔-鲁菲尼定理),例如:
但是,我们仍然可以以隐函数 y = g(x) 的方式来表达。
- 把n元隐函数看作(n+1)元函数,通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。
把一元隐函数看作二元函数,若欲求,對取全微分,可得,經過移項可得
(式中表示關於的偏导数,以此類推)。
把2元隐函数看作3元函数,若欲求,對取全微分,可得 。
由於所求為,令z為常數,即,經過移項可得
- 針對1元隱函數,把看作的函数,利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对求导,再通过移项求得的值。
- 針對2元隱函數,把看作的函数,利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对求导,令,再通过移项求得的值。
- 針對:
- 針對:
- 求中y對x的導數。
為了方便辨別相應的導數部分,各項都以不同顏色分開(常數則以黑色表示)。
1.兩邊皆取其相應的導數,得出
2.移項處理。
3.提出導數因子。
4.移項處理。
5.完成。得出其導數為。
6.選擇性步驟:因式分解。