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階乘
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在數學中,正整数的階乘(英語:factorial)是所有小於等於該數的正整數的積,记為,例如5的階乘表示為
,其值為120:
並定義,1的階乘和0的階乘
都為1,其中0的階乘表示一個空積[2]。
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1808年,基斯頓·卡曼引進這個表示法:,符號
表示連續乘積,亦即
。階乘亦可以遞迴方式定義:
,
。除了自然數之外,階乘亦可定義于整個實數(負整數除外),其与伽瑪函數的关系为:
階乘應用在許多數學領域中,最常應用在組合數學、代數學和数学分析中。在組合數學中,階乘代表的意義為個相異物件任意排列的數量,例如前述例子,
其代表了5個相異物件共有120種排列法。在正整數的情形下,
的階乘又可以稱為n的排列數。