在几何学 中,角 ( jiǎo ) (英語:angle )或精确用语平面角 ,是由两条有公共端点的射线 组成的几何对象。这两条射线叫做角的边 ,它们的公共端点叫做角的顶点 。一般的角會假設在欧几里得平面 上,但在非欧几里得几何 中也可以定義角,特別是在球面幾何學 中的球面角 是用大圓 的圓弧代替射线。角在几何学 和三角学 中有着广泛的应用。
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角 」標題相近或相同的条目页,請見「
角 (消歧义) 」。
Unicode 中的角符號,碼位為U+2220
几何之父欧几里得 曾定义角为在平面 中两条不平行 的直线 的相对斜度。普罗克鲁斯 認為角可能是一種特質、一種可量化的量、或是一種關係。歐德謨 認為角是相對一直線 的偏差,安提阿的卡布斯 認為角是二條相交直線之間的空間。欧几里得認為角是一種關係,不過他對直角、銳角或鈍角的定義都是量化的[ 1] 。
平面角大小的计量单位制 常用的有360度制 、弧度制 等[ 2] [ 3] 。
角通常用三个字母表示:两条边上的点的字母写在两旁,顶点上的字母写在中间。图中的角用∠AOB或
A
O
B
^
{\displaystyle {\widehat {AOB}}}
表示。但若在不會產生混淆的情形下,也會直接用顶点的字母表示,例如角∠O。
在數學式中,一般會用希臘字母 (
α
,
β
,
γ
,
θ
,
φ
,
.
.
.
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\theta ,\varphi ,...}
)表示角的大小。為避免混淆,符號π 一般不用來表示角度。
以角的端点为圆心 做圆弧 。由于圆弧的半径 和弧长成正比 ,而角是长度的比例 ,所以圆的大小不会影响角的测量。
角度 :由角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的周长再乘以360的结果,一般用°来标记,读作“度”。一度可以继续分为60“分”或3600“秒”。角度 在天文学 和全球定位系统 中有重要应用。
弧度 :用角在圆上所切出的圆弧 的长度除以圆的半径,單位是rad(中文名:弳)。弧度在数学 中有广泛的应用。弧度 還是国际单位制 中规定的角的標準度量,但却不是中国法定计量单位,角度 则是角在中国的法定计量单位。
採用弧度時,通常不會標示單位,例如:
sin
π
=
sin
180
∘
=
0
{\displaystyle \sin \pi =\sin 180^{\circ }=0}
百分度 :是角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的周长再乘以400的结果。
以上角的定義均未考慮數值為負的角。不過在一些應用時,會將角的數值加上正負號,以標明是相對參考物不同方向的旋轉。
在二維的笛卡兒坐標系 中,角一般是以x軸的正向為基準,若往y軸的正向旋轉,則其角為正角,若往y軸的負向旋轉,則其角為負角。若二維的笛卡兒坐標系也是x軸朝右,y軸朝上,則逆時針的旋轉對應正角,順時針 的旋轉對應負角。
一般而言,
−
θ
{\displaystyle -\theta }
角和一圈減去
θ
{\displaystyle \theta }
所得的角等效。例如
−
45
∘
{\displaystyle -45^{\circ }}
和
360
∘
−
45
∘
(
=
315
∘
)
{\displaystyle 360^{\circ }-45^{\circ }(=315^{\circ })}
等效,但這只適用在用角表示相對位置,不是旋轉概念時。旋轉
−
45
∘
{\displaystyle -45^{\circ }}
和旋轉315°是不同的。
在三維的幾何中,順時針及逆時針沒有絕對的定義,因此定義正角及負角時均需列出其參考的基準,一般會以一個通過角的頂點,和角所在平面垂直的向量 為基準。
在導航 時,導向 是以北方為基準,正向表示順時針,因此導向45°對應東北方。導向沒有負值,西北方對應的導向為315°。
除了量測角本身的大小外.也有其他的方式,可以量測角的大小。
坡度 等於一個角的正切值,常用百分比或千分比來表示。當一個角的坡度小於5%時,其坡度近似於角以弧度表示的數值。
在有理幾何學 中,一個角的大小是以伸展度(spread)來表示,伸展度定義為角對應正弦的平方,而任一角正弦的平方和該角補角正弦的平方相等。因此任一角和其補角在有理幾何學中是等同的。
零角
角度等於0°,或弧度為0的角。
锐角
角度大于0°且小于90°,或弧度大于0且小于
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
的角。
直角
角度等於90°,或弧度为
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
的角。
钝角
角度大于90°且小于180°,或弧度大于
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
且小于
π
{\displaystyle \pi }
的角。
平角
角度等於180°,或弧度为
π
{\displaystyle \pi }
的角。
優角或反角
角度大於180°且小於360°,或弧度大於
π
{\displaystyle \pi }
且小於
2
π
{\displaystyle 2\pi }
的角。
周角
角度等於360°,或弧度為
2
π
{\displaystyle 2\pi }
的角。
三个零角
直角
優角(或作反角)
周角
銳角(a )、鈍角(b )和平角(c )
以下是各角度的名稱及不同單位下的數值:
更多信息 , ...
名稱
零角
銳角
直角
鈍角
平角
優角
周角
單位
範圍
轉
0
{\displaystyle 0}
(
0
,
1
4
)
{\displaystyle (0,{\tfrac {1}{4}})}
1
4
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}
(
1
4
,
1
2
)
{\displaystyle ({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})}
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
(
1
2
,
1
)
{\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},1)}
1
{\displaystyle 1}
弧度
0
π
{\displaystyle 0\pi \,}
(
0
,
1
2
π
)
{\displaystyle (0,{\tfrac {1}{2}}\pi )}
1
2
π
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }
(
1
2
π
,
π
)
{\displaystyle ({\tfrac {1}{2}}\pi ,\pi )}
π
{\displaystyle \pi }
(
π
,
2
π
)
{\displaystyle (\pi ,2\pi )}
2
π
{\displaystyle 2\pi \,}
度
0
∘
{\displaystyle 0^{\circ }}
(
0
∘
,
90
∘
)
{\displaystyle (0^{\circ },90^{\circ })}
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }}
(
90
∘
,
180
∘
)
{\displaystyle (90^{\circ },180^{\circ })}
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }}
(
180
∘
,
360
∘
)
{\displaystyle (180^{\circ },360^{\circ })}
360
∘
{\displaystyle 360^{\circ }}
关闭
令x為該角度數。
有三種特殊角的組合,其度數和均為特殊的值:
餘角 :當兩個角的度數之和等於90°,即一個直角 ,這兩個角便是餘角。若兩個相鄰的角互為餘角,兩個非共用邊會形成直角。在欧几里得几何 中,非直角的兩角即互為餘角。
若角A 和B 互為餘角,以下的數學式會成立:
sin
2
A
+
sin
2
B
=
1
cos
2
A
+
cos
2
B
=
1
tan
A
=
cot
B
sec
A
=
csc
B
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}A+\sin ^{2}B&=1\\\cos ^{2}A+\cos ^{2}B&=1\\\tan A&=\cot B\\\sec A&=\csc B\end{aligned}}.}
(一角的正切 等於其餘角的餘切 ,一角的正割 等於其餘角的餘割 )
三角函數中的餘函數 ,其前綴「co-」就是餘角的意思。
補角 :當兩個角的度數之和等於180°,即一個平角 ,這兩個角便是互補角。若兩個相鄰的角互為餘角,兩個非共用邊會形成一直線。不過兩個不相鄰的角也可以是補角,例如平行四邊形中,任兩鄰角為互補角。圆内接四边形 的對角也是互補角。
若點P為圓O外的一點,而過點P作圓的切線,切點分別在點T和點Q,則∠TPQ和∠TOQ為互補角。
兩互補角的正弦相等,其餘弦及正切(若有定義義)大小相等,但符號異號。
在欧几里得几何中,三角形兩角的和為第三角的補角。
explementary angles or conjugate angles. 當兩個角的度數之和等於360°
互為餘角的角a 和角b 圖中的銳角和鈍角形成一組互補角
同頂角
a
+
b
+
c
=
360
∘
{\displaystyle a+b+c=360^{\circ }}
直線上的鄰角
a
+
b
+
c
=
180
∘
{\displaystyle a+b+c=180^{\circ }}
二曲線在P點的夾角定義為二曲線在P點切線A 和B 的夾角
曲線和直線的夾角或是二曲線間的夾角定義為二曲線在交點處切線 的夾角。
在欧几里得空间 中,二個向量 u 及v 的角和其點積 及向量的長度有關:
u
⋅
v
=
cos
(
θ
)
‖
u
‖
‖
v
‖
.
{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\ \|\mathbf {u} \|\ \|\mathbf {v} \|.}
依上式可以用二個平面(或曲面)的法向量 ,計算二者之間的夾角,也可以根據二歪斜線 的向量計算其夾角。
在黎曼几何 中,利用度量张量 來定義二條切線 之間的夾角,其中U 及V 是切線向量,g ij 是度量张量G 的分量。
cos
θ
=
g
i
j
U
i
V
j
|
g
i
j
U
i
U
j
|
|
g
i
j
V
i
V
j
|
.
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.}
以地理 的觀點,地球上任何一個位置都可以用地理座標系統 來表示,此系統標示位置的經度 及緯度 ,兩者都以此點連至地球球心連線的角度來表示,經度是以格林威治子午線 為參考基準,而緯度是以赤道 為參考基準。
在天文學 中,天球 的一點可以用任何一種天球坐标系统 來表示,不過其基準則因坐标系统不同而不同。天文學量測二顆星星的角距離 時,會假想分別有二顆星星分別和地球 連成的直線,再量測這二條直線的夾角,即為角距離。
天文學家也會用角直徑 量測一物體的表觀大小。例如滿月 的角直徑約為0.5°。小角公式 可以將上述的角測量轉換為距離和大小的比值。
Heiberg, Johan Ludvig. Heath, T. L. , 编. Euclid . The thirteen books of Euclid's Elements 1 . Cambridge University press. 1908: 177–178 [2012-08-24 ] . (原始内容存档 于2011-07-30).
GB 3102.1-1993:空间和时间的量和单位(代替GB 3102.1-1986).1993年12月27日公布,1994年7月1日实施.