超極限

數學上，超極限是幾何的構造法，對一個度量空間序列X_n指定一個度量空間為其極限。超極限推廣了度量空間的格羅莫夫－豪斯多夫收斂。

超濾子

在自然數集${\displaystyle \mathbb {N} }$上的超濾子ω，是一個有限可加的集合函數（可視為有限可加測度）${\displaystyle \omega :2^{\mathbb {N} }\to \{0,1\}}$，從自然數集的冪集${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$映射到集合{0,1}上，使得${\displaystyle \omega (\mathbb {N} )=1}$。一個在${\displaystyle \mathbb {N} }$上的超濾子ω 稱為非主要的，若對所有有限子集${\displaystyle F\subseteq \mathbb {N} }$， 都有ω(F)=0。

點序列關於一個超濾子的極限

設ω是${\displaystyle \mathbb {N} }$上的非主要超濾子。 若${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$是度量空間(X,d)上的點序列，x∈ X，稱x是x_n的ω -極限，記為${\displaystyle x=\lim _{\omega }x_{n}}$，若對所有${\displaystyle \epsilon >0}$都有

${\displaystyle \omega \{n:d(x_{n},x)\leq \epsilon \}=1.}$

不難看出：

• 若一個點序列的ω-極限存在，則是唯一的。
• 若在標準意義下${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$，則${\displaystyle x=\lim _{\omega }x_{n}}$。（這性質成立，關鍵在超濾子是非主要的。）

若(X,d)緊緻，則每個點序列都存在ω-極限。故此，實數的有界序列都存在ω-極限。

有基點度量空間的超極限

設ω是在${\displaystyle \mathbb {N} }$上的非主要超濾子。設 (X_n,d_n) 是度量空間，有基點p_n∈X_n。

考慮序列${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$，其中x_n∈X_n。這個序列稱為容許的，若實數序列(d_n(x_n,p_n))_n有界，也就是存在正實數C，使得${\displaystyle d_{n}(x_{n},p_{n})\leq C}$。記容許序列的集合為${\displaystyle {\mathcal {A}}}$。

由三角不等式可知對兩個容許序列${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$及${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$，序列(d_n(x_n,y_n))_n有界，因此存在ω-極限${\displaystyle {\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ):=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n})}$。在${\displaystyle {\mathcal {A}}}$中定義關係${\displaystyle \sim }$如下：對${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in {\mathcal {A}}}$，每當${\displaystyle {\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0}$時便有 ${\displaystyle \mathbf {x} \sim \mathbf {y} }$。易知${\displaystyle \sim }$ 是等價關係。

序列(X_n,d_n, p_n)關於ω的超極限是一個度量空間${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })}$，定義如下。^[1]

作為集合，有${\displaystyle X_{\infty }={\mathcal {A}}/{\sim }}$。

對兩個容許序列${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$及${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$的${\displaystyle \sim }$等價類${\displaystyle [\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]}$，定義${\displaystyle d_{\infty }([\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]):={\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n}).}$

不難看到${\displaystyle d_{\infty }}$有良好定義，且為 ${\displaystyle X_{\infty }}$上的度量。

記${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$。

備註

1. John Roe. Lectures on Coarse Geometry. American Mathematical Society, 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2; Definition 7.19, p. 107.