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在数学中,特别是在泛函分析中,有界算子的谱是矩阵的特征值集合的推广。具体来说,對於有界线性算子T,如果T-λI不可逆,其中I是恒等算子,則複數λ會被认为属于T的谱中。谱和相关性质的研究被称为谱理论,其具有许多应用,最值得注意的是量子力学的数学表述。
此條目需要补充更多来源。 (2017年2月11日) |
有限维向量空间上的算子的谱就是特征值的集合。然而,无限维空间上的算子在谱中可能有其他元素,并且可能没有特征值。例如,考虑希尔伯特空间ℓ2上的右移算子R,
该算子没有特征值,因为如果Rx=λx,则通过展开表达式可以得到x1=0,x2=0……另一方面,0在谱中,因为算子R-0(即R自身)不可逆:因为第一项非零的任意向量不在它的值域中,所以它不是满射。事实上,複巴拿赫空间上的每个有界线性算子都必有非空谱。
谱的概念可以扩展到稠定无界算子。在这种情况下,複數λ被认为是在算子T:D→X(其中D在X中稠密)的谱中,如果没有有界逆(λI-T)−1:X→D。如果T是闭算子(包括T是有界算子的情形),逆的有界性可由逆的存在性直接得到。
巴拿赫空间X上的有界线性算子B(X)是有单位的巴拿赫代数的一个例子。由于除了任何这样的代数都具有的性质之外,谱的定义没有涉及B(X)的任何性质,所以谱的概念可以在此逐字地使用相同的定义推广。
作用在巴拿赫空间上的是标量域上的有界线性算子,且是上的恒等算子。的谱是所有使得算子没有有界线性逆的的集合。
由于是一个线性算子,所以如果它的逆存在,则一定是线性的;并且,通过有界逆定理可知,它的逆是有界的。 因此,谱正好由那些使得不是双射的标量组成。
给定算子的谱通常记为,而它的补集,也即预解集,记为 。
如果是的特征值,则算子不是一一映射,因此其逆没有定义。但否命题是不对的:即使不是特征值,算子可能也没有逆。因此,算子的谱总是包含其所有特征值,但却不限于此。
例如考虑希尔伯特空间,它由所有双向无限实数序列
构成,这些序列须满足平方和有限。双向移位算子简单地将序列的每个元素移动一个位置;即如果则对所有整数有。特征值方程在该空间中无解,因为如果有解则意味着所有拥有相同的绝对值(如果 )或者是等比数列(如果 );无论哪种情形,它们的平方和都不可能有限。然而,算子在时不可逆。例如满足的序列属于 ;但是不存在中的序列使得(即对所有有)。
如果谱是空的,那么预解函数
在复杂平面上处处有定义且有界。但可以证明,预解函数R在其定义域是全纯的。通过向量值情形的刘维尔定理可知这个函数是常数。因为它在无穷远处为零,所以恒为零。产生矛盾。
谱的有界性由关于λ的诺伊曼级数展开得出;频谱σ(T)有界||T||。类似的,可以证出谱是闭集。
谱的界||T||可以稍作改进。T的谱半径r(T)是复平面上最小的包含谱σ(T)以原点为圆心的圆的半径,即
巴拿赫空间上的有界算子T可逆(即有有界逆),当且仅当T有正下界且值域稠密。 因此,T的谱可以分为以下部分:
注意到近似点谱和剩余谱不一定不相交(但点谱和剩余谱不相交)。
以下小节提供了关于上述σ(T)分类的更多细节。
如果一个算子不是单射(因此有某个非零的x满足T(x)=0),那它显然是不可逆的。 因此,如果λ是T的特征值,则必有λ∈σ(T)。T的特征值集合被称为T的点谱,记为σp(T)。
更一般地,T如果没有正下界,则不可逆; 也就是说,不存在c>0满足||Tx||≥c||x||对所有 x ∈ X 。因此,谱包括近似特征值集合,即使得 T -λI 没有正下界的λ; 等价地,它是满足如下条件的λ的集合,存在单位向量x1, x2, ...使得
近似特征值集合被称为近似点谱,记为σap(T)。
容易看出特征值属于近似点谱。
例子 考虑l2(Z)上双向移位算子T定义如下
其中ˆ表示第零个位置。直接计算可知T没有特征值,但满足|λ|=1的每个λ都是近似特征值;令xn表示向量
则对所有n有||xn||=1,但
由于T是酉算子,所以它的谱位于单位圆上。 因此T的近似点谱是其整个谱。 这对于更一般的一类算子也是正确的。
酉算子是正规的。由谱定理可知,希尔伯特空间H上的有界算子是正规的,当且仅当其等价于(将H等价为L^2空间)乘法算子。 可以证出,有界乘法算子的谱与它的近似点谱相等。
算子可以是单射甚至有正下界,但不可逆。l 2(N)上的单向移位算子就是一例。这个移位算子是一个等距同构,因此下界为1。但是它不可逆,因为它不是满射。满足λI-T是单射但值域不稠密的λ的集合被称为剩余谱,记为σr(T)。
满足λI-T是单射且值域稠密但不是满射的λ的集合,被称为T的连续谱,记为σc(T)。 因此,连续谱由那些不是特征值且不在剩余谱中的近似特征值构成。即
算子的边缘谱是其谱中模等于其谱半径的点的集合。
氢原子提供了这种分解的例子。氢原子的哈密顿算子的特征函数被称为本征态,并被分为两类。 氢原子的束缚态对应于谱的离散部分(它们具有离散的特征值集合,可由里德伯公式计算得到),而电离过程的最终结果由连续部分描述(碰撞/电离的能量不是“量子化的”)。
如果T是一个紧算子,则可以证明谱中任意非零λ是特征值。 换句话说,这种算子的谱,被定义为特征值概念的推广,在这种情形下仅包括通常的特征值和0(可能有)。
如果X是希尔伯特空间且T是正规算子,则有被称为谱定理的显着结果,给出了正规有限维算子的对角化定理的类比(例如埃尔米特矩阵)。
可以推广谱的定义用于巴拿赫空间X上的无界算子,这些算子不再是巴拿赫代数B(X)中的元素。 推广类似于有界情形。 复数λ被称为在预解集中,即线性算子T
的谱的补集,如果算子
有有界逆,即如果存在有界算子
使得
如果该性质不满足,则复数λ在谱中。 可以以与有界情形完全相同的方式来对谱进行分类。
无界算子的谱通常是复平面的闭子集,可能为空集。
对于预解集中的λ(即不在谱中),与有界情形相同,λI-T 必须是双射,因为它必须有双边逆。 如前所述,如果逆存在,则其线性直接可得,但一般来说,它可能无界,因此必须单独检验该条件。
然而如果引入了T是闭算子的附加假设,由闭图像定理可知,逆的有界性可由其存在性直接得到。 因此,与有界情情形相同,复数λ位于闭算子T的谱中,当且仅当λI-T不是双射。 注意到闭算子包括所有有界算子。
通过其谱测度,可以定义任何自伴算子的谱分解,有界或其他类型分解为绝对连续、纯点和奇异部分。
令B为包含单位e的复巴拿赫代数。我们定义B的元素x的谱σ(x)(或更明确地σB(x))为使λe-x在B中不可逆的那些複數λ的集合。这推广了巴拿赫空间X上有界线性算子B(X)的谱的定义,因为B(X)是一个巴拿赫代数。
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