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在代数学中,胡尔维兹定理(又名“1,2,4,8定理”)是以在1898年证明它的阿道夫·胡尔维兹命名。该定理表明:任何带有单位元的賦範可除代數同构于以下四个代数之一:R,C,H和O,分别代表实数、复数、四元数和八元数。[1][2]对实賦範可除代數的分类始于弗洛比纽斯[3] ,发扬于胡尔维兹[4],由佐恩整理为一般形式[5]。一个简短的历史摘要可见Badger[6]。
完整的证明能在凯特和索洛多斯尼科夫[7]或者夏皮罗[8]处找到。一个基本的想法是,如果一个代数A是成正比于1的,那么它同构于实数。否则,我们使用凯莱-迪克森结构扩展子代数以同构于1,并引入一个向量正交于1。此子代数是同构于复数的。如果它不是A的全体,那么我们再次使用凯莱-迪克森结构和另一个与复数正交的向量,得到一个与四元数同构的子代数。如果这还不是不是A的全体,我们重复以上行为一次,并得到同构于凯莱数(或八元数)的子代数。我们现在有一个定理,说的是每一个包含1而又不是A自身的子代数是结合的。凯莱数不是结合的,因此必须为A。
胡尔维兹定理也可以用于证明n个平方和与n个平方和的积仍可以写成n个平方和仅当n为1,2,4或者8时[9]。
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