群擴張
維基百科,自由的 encyclopedia
(換言之, 是單射、
是滿射,且
;是故可視
為
的正規子群,
。)則稱群
為
的群擴張,或稱
對
的扩张。
由短正合序列的同構關係,可以定義群擴張的等價類。若某個群擴張等價於
則稱此擴張為平凡擴張。當 落在
的中心時,稱之為中心擴張。
分類
一般的群擴張不易分類。若限定 為阿貝爾群,則
對
的擴張等價類一一對應於
(參見條目 Ext函子)。
另一方面,若在群擴張 中,
為阿貝爾群,可任取一截面
(s 不一定是群同態),群
以共軛方式
在
上作用。這類擴張的等價類由群上同調
分類,並具有自然的群結構。最常見的例子是中心擴張。
李代數的擴張
利用同樣作法,也可以定義李代數的擴張。此即李代數的正合序列
若 ,稱之為中心擴張。
參考資料
- V.E. Govorov, Extension of a group, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4