组合数学

广义的组合数学（英語：Combinatorics）相当于离散数学，狭义的组合数学是组合计数、图论、代数结构、数理逻辑等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合数学是一门研究可數或离散对象的科学。随着计算机科学日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。

狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。组合数学的主要内容有组合计数、组合设计(Combinatorial design（英语：Combinatorial design）)、组合矩阵(Combinatorial matrix theory（英语：Combinatorial matrix theory）)、组合最佳化（最佳組合）等。

歷史

An example of change ringing (with six bells), one of the earliest nontrivial results in graph theory.

最基本的組合數學的思想和枚舉的方法在古老時代就已經出現。西元前6世紀的古印度外科醫生妙聞指出可以由6種相異味道組合出63種相異結果（每種味道都可以選擇或不選擇，但不能都不選擇，因此有2⁶−1=63種組合）；古羅馬時期，希臘史學家普魯塔克與克律西波斯、喜帕恰斯討論了後來顯示與Schröder–Hipparchus數（英语：Schröder–Hipparchus number）有關的枚舉問題^[1][2]；西元前3世紀的阿基米德在其數學文章Ostomachion（英语：Ostomachion）中講述拼接拼圖的智力遊戲（tiling puzzle）。

中世紀時，組合數學持續發展（主要是歐洲外的文明）。西元850年的印度數學家Mahāvīra（英语：Mahāvīra (mathematician)）提供了關於排列數與組合的公式^[3][4]，甚至可能早在6世紀的印度數學家就對這些公式熟悉^[5] 。西元1140年哲學家與天文學家阿伯拉罕·伊本·埃茲拉確認了二項式係數的對稱性，而二項式係數公式則是由猶太人數學家吉尔松尼德在西元1321年得到^[6]。楊輝三角形最早可追溯至10世紀的數學論文，在中國則首現於13世紀南宋楊輝《詳解九章算法》。在英格蘭則出現與哈密頓迴路相關的例子^[7]。

文藝復興時期，與其他數學或科學領域一樣，組合數學再現生機。帕斯卡、牛頓、雅各布·白努利、歐拉等人的研究為此新興領域打下基礎。在更近代，西爾維斯特和馬克斯·馬奧尼也在組合計數和代數組合學有貢獻。数学家也對四色問題等圖論有極大興趣。

在20世紀下半葉，組合數學成長相當迅速，甚至出現數十種新的期刊和會議^[8]，這種成長某程度上是由與其他領域的連結與應用所帶動，如代數、機率論、泛函分析和數論。

组合数学中的著名问题

• 計算一些物品在特定條件下分組的方法數目。這些是關於排列、組合和整數分拆。
• 地图着色问题：為地图填色，每區用一色。如果要邻區颜色相异，是否只需四色？這是圖論題。
• 船夫过河问题：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵菜运过河。只要船夫不在场，羊就会吃白菜、狼就会吃羊，但船每次只能运送一种东西。怎样把所有东西运过河？這是線性規劃題。
• 中国邮差问题：由中华民国组合数学家管梅谷教授提出。邮差要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这不是NP完全问题，存在多项式复杂度算法：先求出度为奇数的点，用匹配算法算出这些点间的连接方式，然后再用欧拉路径算法求解。也是圖論題。
• 任务分配问题（也称分配问题）：有一些员工要完成一些任务。各员工完成不同任务用的时间都不同。每个员工只分配一项任务。每项任务只分给一个员工。怎样分配员工与任务以使所花费的时间最少？也是線性規劃題。
• 如何構造幻方： 幻方為一方陣，填入不重複之自然數，並使其中每一縱列、橫列、對角線內數字之和皆相同。
• 數獨：遊戲一般由9個3×3個的九宫格組成。每一列的數字均須包含 1～9，不能缺少，也不能重複。每一宮(粗黑線圍起來的區域，通常是 3x3 的九宮格)的數字均須包含 1～9，不能缺少，也不能重複。^{參見Mathematics_of_Sudoku（英语：Mathematics_of_Sudoku）}

排列

主条目：排列

从${\displaystyle n}$个元素取出${\displaystyle k}$个元素，${\displaystyle k}$个元素的排列數量為：

${\displaystyle P_{k}^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}}$

以賽馬為例，有8匹马参赛，玩家需在彩票上填入前三匹胜出的马匹号码，從8匹馬取出3匹來排前3名，排列數量為：

${\displaystyle P_{3}^{8}={\frac {8!}{(8-3)!}}=8\times 7\times 6=336}$

因为有336种排列，因此玩家在一次填入中中奖的概率是：

${\displaystyle P={\frac {1}{336}}=0.00298}$ (假設每匹馬贏的機會相等)

不過，中國大陸的教科書則是把從n取k的情況記作${\displaystyle P_{n}^{k}}$或${\displaystyle A_{n}^{k}}$（A代表Arrangement，即排列^[9]）。

上例是在取出元素不重複出現的狀況建立。

從${\displaystyle n}$个元素取出${\displaystyle k}$个元素，${\displaystyle k}$个元素可以重复出现，這排列數量為：

${\displaystyle U_{k}^{n}=n^{k}}$^[10]

以四星彩為例，10個數取4個，因可能重複所以排列數量為：

${\displaystyle U_{4}^{10}=10^{4}=10000}$

这时的一次性添入中奖的概率就是：

${\displaystyle P={\frac {1}{10000}}=0.0001}$

组合

主条目：組合

和排列不同的是，组合不考虑取出元素的顺序。

从${\displaystyle n}$个元素取出${\displaystyle k}$个，${\displaystyle k}$个元素的组合數量为：

${\displaystyle C_{k}^{n}={n \choose k}={\frac {P_{k}^{n}}{k!}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$

中國大陸的教科書則是把從${\displaystyle n}$取${\displaystyle k}$的情況記作${\displaystyle C_{n}^{k}}$^[11]。

以香港六合彩為例，六合彩49顆球選6顆的组合數量为：

${\displaystyle C_{6}^{49}={49 \choose 6}={\frac {49!}{6!43!}}=13983816}$

如同排列，上面的例子是建立在取出元素不重複出現狀況。

从${\displaystyle n}$个元素取出${\displaystyle k}$个元素，${\displaystyle k}$個元素可以重複出現，组合數量为：

${\displaystyle H_{k}^{n}=C_{k}^{n+k-1}}$

以取色球為例，每種顏色的球有無限多顆，從8種色球取出5顆球，這組合數量為：

${\displaystyle H_{5}^{8}=C_{5}^{8+5-1}=C_{5}^{12}={\frac {12!}{5!7!}}=792}$

因為組合數量公式特性，重複組合轉換成組合有另一種公式為：

${\displaystyle H_{k}^{n}=C_{k}^{n+k-1}={\frac {(n+k-1)!}{k!(n-1)!}}=C_{n-1}^{n+k-1}}$

另外${\displaystyle H_{k}^{n}}$也可以記為${\displaystyle F_{k}^{n}}$^[12]

${\displaystyle F_{k}^{n}=H_{k}^{n}}$

总结

${\displaystyle n}$中取${\displaystyle k}$	直線排列 （考慮順序）	环状排列	组合 （不考慮順序）
不重复出现 （不放回去）	${\displaystyle P_{k}^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}}$ （OEIS數列A008279）	${\displaystyle {\frac {n!}{k\cdot (n-k)!}}}$ （OEIS數列A111492）	${\displaystyle C_{k}^{n}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}}$ （OEIS數列A007318）
可重复出现 （再放回去）	${\displaystyle U_{k}^{n}=n^{k}}$ （OEIS數列A004248）	${\displaystyle {\frac {\sum _{r|k}(r\cdot \varphi (r)\cdot n^{\frac {k}{r}})}{k}}}$ （OEIS數列A075195）	${\displaystyle H_{k}^{n}={\frac {(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}}}$ （OEIS數列A097805）

参见

• 阶乘
• 阶乘符号
• 排列
• 组合
• 组合优化

參考文獻

1. Stanley, Richard P.; "Hipparchus, Plutarch, Schröder, and Hough", American Mathematical Monthly 104 (1997), no. 4, 344–350.
2. Habsieger, Laurent; Kazarian, Maxim; and Lando, Sergei; "On the Second Number of Plutarch", American Mathematical Monthly 105 (1998), no. 5, 446.
3. 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Mahavira, MacTutor数学史档案 （英语）
4. Puttaswamy, Tumkur K., The Mathematical Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians, Selin, Helaine (编), Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics, Netherlands: Kluwer Academic Publishers: 417, 2000 [2019-07-21], ISBN 978-1-4020-0260-1, （原始内容存档于2016-11-27）
5. Biggs, Norman L. The Roots of Combinatorics. Historia Mathematica. 1979, 6 (2): 109–136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0.
6. Maistrov, L.E., Probability Theory: A Historical Sketch, Academic Press: 35, 1974 [2019-07-21], ISBN 978-1-4832-1863-2, （原始内容存档于2021-04-16）. (Translation from 1967 Russian ed.)
7. White, Arthur T.; "Ringing the Cosets", American Mathematical Monthly, 94 (1987), no. 8, 721–746; White, Arthur T.; "Fabian Stedman: The First Group Theorist?", American Mathematical Monthly, 103 (1996), no. 9, 771–778.
8. See Journals in Combinatorics and Graph Theory （页面存档备份，存于互联网档案馆）
9. 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-3 B版. 人民教育出版社. : 10. ISBN 9787107187544.
10. 組合數學 ─算法與分析─. 九章出版社. : 29. OCLC:44527392
11. 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-3 B版. 人民教育出版社. : 16. ISBN 9787107187544.
12. 組合數學 ─算法與分析─. 九章出版社. : 33. OCLC:44527392

外部連結

• The Combinatorics Net （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Electronic Journal of Combinatorics （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 点算的奥秘 （页面存档备份，存于互联网档案馆）