線性無關

在線性代數裡，向量空間的一組元素中，若沒有向量可用有限個其他向量的線性組合所表示，则稱為線性無關或線性獨立（linearly independent），反之稱為線性相關（linearly dependent）。例如在三維歐幾里得空間R³的三個向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)線性無關。但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)線性相關，因為第三個是前兩個的和。

线性代数
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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定義

假設V是在域K上的向量空間。如果${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$是V的向量，若它們為線性相關，则在域K 中有非全零的元素${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$，使得

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} }$；

或更簡略地表示成，

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} }$。

（注意右邊的零是V的零向量，不是K的零元素。）

如果K中不存在這樣的元素，那麼${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$是線性無關。

對線性無關可以給出更直接的定義。向量${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$線性無關，若且唯若它們滿足以下條件：如果${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$是K的元素，適合：

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} }$，

那麼對所有${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$都有${\displaystyle a_{i}=0}$。

在V中的一個無限集，如果它任何一個有限子集都是線性無關，那麼原來的無限集也是線性無關。

線性相關性是線性代數的重要概念，因為線性無關的一組向量可以生成一個向量空間，而這組向量則是這向量空間的基。

相關性

• 含有零向量的向量組，必定線性相關。

若有向量組${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{s}}$，其中${\displaystyle a_{1}=0}$，則${\displaystyle a_{1}=0\cdot a_{2}+...+0\cdot a_{s}}$。

• 含有兩個相等向量的向量組，必定線性相關。

若有向量組${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{s}}$，其中${\displaystyle a_{1}=a_{2}}$，則${\displaystyle a_{1}=1\cdot a_{2}+0\cdot a_{3}+...+0\cdot a_{s}}$。

• 若一向量組相關，則加上任意個向量後，仍然線性相關；即局部線性相關，整體必線性相關。
• 整體線性無關，局部必線性無關。
• 向量個數大於向量維數，則此向量組線性相關。
• 若一向量組線性無關，即使每一向量都在同一位置處增加一分量，仍然線性無關。
• 若一向量組線性相關，即使每一向量都在同一位置處減去一分量，仍然線性相關。
• 若${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{s}}$線性無關，而${\displaystyle b,a_{1},a_{2},...,a_{s}}$線性相關，則${\displaystyle b}$必可由${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{s}}$線性表示，且表示係數唯一。
• 有向量組${\displaystyle {\textrm {I}}\{a_{1},a_{2},...,a_{s}\}}$和${\displaystyle {\textrm {II}}\{b_{1},b_{2},...,b_{t}\}}$，其中${\displaystyle t>s}$，且${\displaystyle {\textrm {II}}}$中每個向量都可由${\displaystyle {\textrm {I}}}$線性表示，則向量組${\displaystyle {\textrm {II}}}$必線性相關。即向量個數多的向量組，若可被向量個數少的向量組線性表示，則向量個數多的向量組必線性相關。
• 若一向量組${\displaystyle b_{1},b_{2},...,b_{t}}$可由向量組${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{s}}$線性表示，且${\displaystyle b_{1},b_{2},...,b_{t}}$線性無關，則${\displaystyle t\leq s}$。即線性無關的向量組，無法以向量個數較少的向量組線性表示。

例子1

设V = Rⁿ，考虑V内的以下元素：

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1).\end{matrix}}}$

则e₁、e₂、……、e_n是线性无关的。

证明

假设a₁、a₂、……、a_n是R中的元素，使得：

${\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=0.\,\!}$

由于

${\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\,\!}$

因此对于{1, ..., n}内的所有i，都有a_i = 0。

例子2

设V是实变量t的所有函数的向量空间。则V内的函数e^t和e^2t是线性无关的。

证明

假设a和b是两个实数，使得对于所有的t，都有：

ae^t + be^2t = 0

我们需要证明a = 0且b = 0。我们把等式两边除以e^t（它不能是零），得：

be^t = −a

也就是说，函数be^t与t一定是独立的，这只能在b = 0时出现。可推出a也一定是零。

例子3

R⁴内的以下向量是线性相关的。

${\displaystyle {\begin{matrix}\\{\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}\\\\\end{matrix}}}$

证明

我们需要求出标量${\displaystyle \lambda _{1}}$、${\displaystyle \lambda _{2}}$和${\displaystyle \lambda _{3}}$，使得：

${\displaystyle {\begin{matrix}\\\lambda _{1}{\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}}+\lambda _{2}{\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}}+\lambda _{3}{\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.\end{matrix}}}$

可以形成以下的方程组：

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&\;+7\lambda _{2}&&-2\lambda _{3}&=0\\4\lambda _{1}&\;+10\lambda _{2}&&+\lambda _{3}&=0\\2\lambda _{1}&\;-4\lambda _{2}&&+5\lambda _{3}&=0\\-3\lambda _{1}&\;-\lambda _{2}&&-4\lambda _{3}&=0\\\end{aligned}}}$

解这个方程组（例如使用高斯消元法），可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=\lambda _{1}\\\lambda _{2}&=(-\lambda _{1})/3\\\lambda _{3}&=(-2\lambda _{1})/3.\\\end{aligned}}}$

由于它们都是非平凡解，因此这些向量是线性相关的。

参考文献

• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 5. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-55259-5, Kapitel 1.5.