在数学中,级数展开是将一个函数展开成级数,或无穷和的形式。它是一种计算仅靠基本运算符(加、减、乘、除)无法表达的函数的方法。
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一个展示余弦函数被连续截断的麦克劳林级数逼近的动画。
由此产生的级数往往可以通过仅取有限项,产生近似。序列中使用的项越少,近似就越简单。由于省略的部分和产生的不精确通常可以用包含大O符号的方程来描述。对于非解析函数,开放区间上的级数展开是一个近似值。
级数展开的种类
这里介绍了若干种级数展开的方式:
泰勒级数是基于函数在一个点上的导数的幂级数。具体来说,如果函数
在
附近是无限可微的,那么
在该点周围的泰勒级数为
,按照惯例
。
的麦克劳林级数是其在
处的泰勒数列。洛朗级数是泰勒级数的延伸,允许负指数项;它的形式是
并在环内收敛。
广义狄利克雷级数具有
的形式。它的一个重要特例是狄利克雷级数
。
傅里叶级数将周期函数展开成许多正弦和余弦函数之和。更具体地,一个周期为
的函数
的傅里叶级数为:
其中系数为:
![{\displaystyle a_{n}:={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(t)\cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)dt}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51d56ee413ffca306f3ef0fbd564e2591bc4e851)
在声学中,基音和泛音共同构成了一个傅里叶数列的例子。
斯特林公式
是对数Γ函数的一个近似值。
例子
下式为
的泰勒级数:
黎曼ζ函数: