在数学中,假設在一个集合
上定義一个等价关系(用
來表示),则
中的某個元素
的等价类就是在
中等价于
的所有元素所形成的子集:
。
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等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造新集合。在
中的给定等价关系
的所有等价类的集合表示为
并叫做
除以
的商集。这种运算可以(实际上非常不正式的)被认为是输入集合除以等价关系的活动,所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。商集类似于除法的一个方面是,如果
是有限的并且等价类都是等势的,则
的序是
的序除以一个等价类的序的商。商集被认为是带有所有等价点都识别出来的集合
。
对于任何等价关系,都有从
到
的一个规范投影映射
,给出为
。这个映射总是满射的。在
有某种额外结构的情况下,考虑保持这个结构的等价关系,接着称这个结构是良好定义的,而商集在自然方式下继承了这个结构而成为同一个范畴的对象;从
到
的映射则是在这个范畴内的满态射。参见同余关系。
例子
- 如果
是轿车的集合,而
是“颜色相同”的等价类,则一个特定等价类由所有绿色轿车组成。
自然的被认同于所有轿车颜色的集合。
- 考虑在整数集合
上的“模
” ﹝見同餘﹞等价关系:
当且仅当
是偶数。这个关系精确的引发两个等价类:
由所有偶数组成,
由所有奇数组成。在这个关系下
和
都表示
的同一个元素。
- 有理数可以构造为整数的有序对
的等价类的集合,
不能为零,这里的等价关系定义为
当且仅当
。
- 这里的有序对
的等价类可以被认同于有理数
。
- 任何函数
定义在X上的等价关系,通过
当且仅当
。
的等价类是在
中被映射到
的所有元素的集合,就是说,类
是
的逆像。这个等价关系叫做
的核。
- 给定群
和子群
,我们可以定义在
上的等价关系,通过
当且仅当
。这个等价类叫做H在G中的右陪集;其中之一是
自身。它们都有同样数目的元素(在无限
的情况下是势)。如果
是正规子群,则所有陪集的集合自身是在自然方式下的一个群。
- 所有群都可以划分成叫做共轭类的等价类。
- 连续映射
的同伦类是所有同伦于
的所有映射的等价类。
- 在自然语言处理中,等价类是对一个个人、位置、事物或事件的所有提及的要么真实要么虚构的集合。例如,在句子“"GE股东将投票公司杰出的CEO Jack Welch的继任者”。“GE”和“公司”是同义的,所以构成一个等价类。对“GE股东”和“Jack Welch”有单独的等价类。
性质
因为等价关系的
在
中和任何两个等价类要么相等要么不相交的性质。得出X的所有等价类的集合形成
的划分:所有
的元素属于一且唯一的等价类。反过来,
的所有划分也定义了在
上等价关系。
它还得出等价关系的性质
当且仅当
。
如果
是在
上的等价关系,而
是
的元素的一个性质,使得只要
为真如果
为真,则性质
被称为良好定义的或在关系
下“类恒定”的。常见特殊情况出现在
是从
到另一个集合
的时候;如果
蕴涵
则
被称为在
下恒定的类,或简单称为在
下恒定。这出现在有限群的特征理论中。对函数
的后者情况可以被表达为交换三角关系.参见不變量。
参见