直言三段论 是所有前提 都是直言命题 的演绎推理 。前兩個命題 被分别称为大前提 和小前提 [ 1] 。如果這個三段論是有效的 ,這兩個前提邏輯上蕴涵了最後的命題,它叫做結論 。結論的真實性建立在前提的真實性和它們之間的聯繫之上:中項 在前提中必須周延 (distribute)至少一次,形成在結論中的主詞和謂词之間的連接。例如:
所有生物都會死。
所有人都是生物。
所以,所有人都會死。
這裡的中項“生物”在大前提中周延,大項“會死者”在大前提和結論中都不周延,小項“人”在小前提和結論中周延;這個三段論符合周延 規則:中項至少在一個前提中周延 。一些直言三段論 不是有效的,例如:
所有鳥都有翅膀。
所有人都不是鳥。
所以,没有人有翅膀。
即使此例子的兩個前提和結論都是正確的,中項“鳥”在大前提和小前提中周延,大項“有翅膀”在結論中周延,小項“人”在小前提和結論中周延;此三段論卻是一種大項不當 謬誤 ,將結論“沒有人有翅膀”理解為同樣表達的“所有人沒有翅膀”如此一來方便了解其中的谬误;此三段論不有效的原因是它不符合另一個周延 規則:在結論中周延的詞項,在前提中也必須周延。在該三段論中大項“有翅膀”在結論被否定了,也就是說表達了人沒有“有翅膀”,大項在此周延,但在大前提中未周延,因為在大前提中“有翅膀”並沒有涉及該項的所有個體。
语气和格式
對立四邊形 圖,揭示傳統邏輯四種命題語氣的關係,紅色表示非空,黑色表示空。
三段論有如下典型形式:
大前提:所有M是P。
小前提:所有S是M。
結論:所有S是P。
其中S代表結論的主詞 (S ubject),P代表結論的謂詞 (P redicate),M代表中詞(M iddle)。
三段論的命題可分為全称 (universal)、特称 (particular),及肯定、否定,組合起來有以下四類語氣 (Mood):
更多信息 類型, 代號 ...
類型
代號
形式
範例
全稱肯定型
A (SaP)
所有S是P
所有人是會死的
全稱否定型
E (SeP)
沒有S是P
沒有人是完美的
特稱肯定型
I (SiP)
有些S是P
有些人是健康的
特稱否定型
O (SoP)
有些S不是P
有些人不是健康的
关闭
三段論中,結論中的謂詞稱作大詞 (P,或稱大項),包含大詞在內的前提稱作大前提 ;結論中的主詞稱作小詞 (S,或稱小項),包含小詞在內的前提稱作小前提 ;沒有出現在結論,卻在兩個前提重複出現的稱作中詞 (M,或稱中項)。大詞、中詞、小詞依不同排列方式,可分成四種格 (Figure):
更多信息 第1格, 第2格 ...
第1格
第2格
第3格
第4格
大前提
M-P
P-M
M-P
P-M
小前提
S-M
S-M
M-S
M-S
結論
S-P
S-P
S-P
S-P
关闭
將以上整合在一起,三段論的大前提、小前提、結論分別可為A 、E 、I 、O 型命題之一,又可分為4格,故總共有256種三段論(若考慮大前提與小前提對調,便有512種,但邏輯上是相同的)。
三段論依語氣與格的分類縮寫,例如AAA-1 (也可以寫成1-AAA )代表「大前提為A 型,小前提為A 型,結論為A 型,第1 格」的三段論。
此外,三段論的四種格之间可相互转换:
第1格:对换大前提的主词和谓词的位置就变成第2格,对换小前提的主词和谓词的位置就变成第3格。
第2格:对换大前提的主词和谓词的位置就变成第1格,对换小前提的主词和谓词的位置就变成第4格。
第3格:对换大前提的主词和谓词的位置就变成第4格,对换小前提的主词和谓词的位置就变成第1格。
第4格:对换大前提的主词和谓词的位置就变成第3格,对换小前提的主词和谓词的位置就变成第2格。
E 和I 命题对换主词和谓词的位置而保持同原命题等价。A 命题和O 命题不能对换主词和谓词的位置,但是可以采用直接推理 中的“对置法”。A命题还可以在确实主词有元素存在的前提下,转换成弱于原命题的I 命题后再对换主词和谓词的位置。
有效性
考虑各种直言三段论的有效性將是非常冗长耗時的。前人想出了三个可供选择的方法来找出有效性。方法之一是记住下一章节中列出的所有論式。
還可以通过构造文氏图 的方法得到有效形式。因为有三种项,文氏图需要三个交叠的圓圈来表示每一个类。首先,为小项构造一个圓圈。临近小项的圓圈的是同小項有着交叠的大项的圓圈。在这两个圓圈之上是中项的圓圈。它应当在三个位置有着交叠:大项,小项和大项与小项交叠的地方。一個三段论是有效的,其必然条件是通过图解两个前提得出结论的真实性。永不图解结论,因为结论必须从前提推导出来。总是首先图解全称命题。这是通过对一个类在另一个类中没有成员的区域加黑影来实现的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提“所有M是P”中,对M不与P交叠的所有区域加黑影,包括M与S交叠的部分。接着对小前提重复同样的过程。从这两个前提中可推导出在类S中所有成员也是类P的成员。但是,不能推出类P的所有成员都是类S的成员。
作为文氏圖方法的另一个例子,考虑形式EIO-1的三段论。它的大前提是“没有M是P”,它的小前提是“有些S是M”,它的结论是“有些S不是P”。这个三段论的大项是P,它的小项是S,它的中项是M。大前提在图中通过对交集M ∩ P加阴影表示。小前提不能通过对任何区域加黑影表示。转而,我们可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用x 符号来表示“有些S是M”。(注意:黑影区域和存在量化 区域是互斥的)。接着因为存在符号位于S内但在P外,所以结论“存在一些S不是P”是正确的。
本文最後一節列出了所有24個有效論式的文氏圖。
最后一种方法是记住下面非形式表述的幾條规则以避免謬論 。尽管文氏图对于诠释目的是好工具,有人更喜欢用這些规则来检验有效性。
基本規則:
結論中周延 的詞必須在前提中周延 (謬誤:大詞不當 、小詞不當 )。
中詞必須周延 至少一次(謬誤:中詞不周延 )。
結論中否定命題的數目必須和前提中否定命題的數目相等:
二前提皆肯定,則結論必須為肯定(謬誤:肯定前提推得否定結論 )。
一前提是否定,則結論必須為否定(謬誤:否定前提推得肯定結論 )。
二前提皆否定,則三段論必無效(謬誤:排它前提謬誤 )。
結論中特稱命題的數目必須和前提中特稱命題的數目相等:
二前提皆全稱,則結論必須為全稱。
一前提是特稱,則結論必須為特稱。
二前提皆特稱,則三段論必無效。
若一個三段論式滿足以上的所有規則,就必定有效。
其他檢查:
如果語境上不能假設所有提及的集合非空 ,部分推論將會無效(謬誤:存在謬誤 )。
必須包含嚴格的三個詞,不多不少。且須注意所有關鍵詞和結構的語義是否一致(謬誤:四詞謬誤 、歧義謬誤 )。
有效三段論式
唯有第一格的所有有效三段論式的結論涵蓋了A 、E 、I 、O 全部四種命題,第二格的所有有效三段論式皆為否定結論(E 或O ),第三格的所有有效三段論式皆為特稱結論(I 或O ),第四格的所有有效三段論式皆為否定結論或特稱結論(E 、I 或O )。下面表格中加下劃線者必須假設所有提及的集合非空才有效。
更多信息 第1格, 第2格 ...
第1格
第2格
第3格
第4格
AAA
AEE
AA I
AAI
EAE
EAE
EA O
EA O
AII
AOO
AII
AEE
EIO
EIO
EIO
EIO
AAI
AEO
IAI
IAI
EAO
EAO
OAO
AEO
关闭
在全部256種三段論式中,有24種有效,但是如果不能確定所有提及的集合為非空,則只有15種有效。
常犯的無效三段論式
1-AEE, 1-AEO, 1-EEA, 1-EEE, 1-EEI, 1-AIA, 1-IAA, 1-IAI, 1-III, 1-AOO, 1-OAO, 1-IEO
2-AAA, 2-AAI, 2-AII, 2-IAI, 2-OAO, 2-IEO, 2-EOI, 2-OEI, 2-IOO, 2-OIO
3-AAA, 3-AEE, 3-EAE, 3-AEO, 3-AOO, 3-AIA, 3-IAA, 3-III, 3-EOI, 3-OEI, 3-IEO
4-AAA, 4-EAE, 4-AII, 4-IEO
三段论式列表
总共有19个有效的论式,算结论弱化(全称弱化为特称)的5个论式則為24個有效论式,其中每一格刚好各有6個有效论式。為便於記憶,中世纪的学者將這些有效論式分別取了對應的拉丁語 名字,每個名字的加了下劃線的元音 即是對應的語氣:
更多信息 第1格, 第2格 ...
第1格
第2格
第3格
第4格
Ba rba ra
Ca me stre s
Da ra p ti
Ba ma li p
Ce la re nt
Ce sa re
Fe la p to n
Fe sa p o
Da rii
Ba ro co
Da ti si
Ca le me s
Fe rio
Fe sti no
Fe ri so n
Fre si so n
Ba rba ri
Ca me stro s
Di sa mi s
Di ma ri s
Ce la ro nt
Ce sa ro
Bo ca rdo
Ca le mo s
关闭
经典三段论式
下面列出的是亚里士多德 的《前分析篇 》中关于前3个格的14个三段论式。
第1格
所有M是P。
所有S是M。
∴ 所有S是P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow P(x))}}}
没有M是P。
所有S是M。
∴ 没有S是P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\quad \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}
所有M是P。
有些S是M。
∴ 有些S是P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \exists x(S(x)\land M(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}
没有M是P。
有些S是M。
∴ 有些S不是P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\quad \exists x(S(x)\land M(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
第2格
所有P是M。
没有S是M。
∴ 没有S是P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
S
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
S
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}\qquad {\cfrac {\forall x(S(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))}}}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))\qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}}{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}}
(AEE-2是AEE-4的等价形式。这种形式还有其他推导方法。)[ 2]
没有P是M。
所有S是M。
∴ 没有S是P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(S(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}
(EAE-2是EAE-1的等价形式。)
所有P是M。
有些S不是M。
∴ 有些S不是P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
(
¬
M
(
x
)
)
)
∀
x
(
(
¬
M
(
x
)
)
→
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
(
¬
M
(
x
)
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(P(x)\rightarrow \lnot (\lnot M(x)))}}{\forall x((\lnot M(x))\rightarrow \lnot P(x))}}\quad {\cfrac {\exists x(S(x)\land \lnot M(x))}{\exists x(S(x)\land (\lnot M(x)))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
(这种形式还有其他推导方法。)[ 3]
没有P是M。
有些S是M。
∴ 有些S不是P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\exists x(S(x)\land M(x))\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
(EIO-2是EIO-1的等价形式。)
第3格
所有M是P。
所有M是S。
∴ 有些S是P。
(这种形式需要假定有些M确实存在。)[ 4]
∀
x
(
M
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
M
(
x
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\end{matrix}}\ {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists xM(x)}{\exists x(M(x)\land M(x))}}}{\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}
没有M是P。
所有M是S。
∴ 有些S不是P。
(这种形式需要假定有些M确实存在。)[ 5]
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
M
(
x
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\end{matrix}}\,{\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists xM(x)}{\exists x(M(x)\land M(x))}}}{\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
所有M是P。
有些M是S。
∴ 有些S是P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\end{matrix}}\qquad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}
(AII-3是AII-1的等价形式。)
没有M是P。
有些M是S。
∴ 有些S不是P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
(EIO-3是EIO-1的等价形式。)
有些M是P。
所有M是S。
∴ 有些S是P。
∃
x
(
M
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\cfrac {{\cfrac {\exists x(M(x)\land P(x))}{\exists x(P(x)\land M(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\qquad \exists x(P(x)\land M(x))}}{\cfrac {\exists x(P(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}}
(IAI-3是IAI-4的等价形式。)
有些M不是P。
所有M是S。
∴ 有些S不是P。
∃
x
(
M
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
P
(
x
)
)
∧
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
P
(
x
)
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
P
(
x
)
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\cfrac {{\cfrac {\exists x(M(x)\land \lnot P(x))}{\exists x((\lnot P(x))\land M(x))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\quad \exists x((\lnot P(x))\land M(x))}}{\cfrac {\exists x((\lnot P(x))\land S(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}}
(这种形式还有其他推导方法。)[ 6]
增补的论式
第4格由亞里士多德的學生泰奧弗拉斯托斯 補充[ 7] 。
第4格
所有P是M。
所有M是S。
∴ 有些S是P。
(这种形式需要假定有些P确实存在。)
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
P
(
x
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}}{\forall x(P(x)\rightarrow S(x))}}\quad {\cfrac {\exists xP(x)}{\exists x(P(x)\land P(x))}}}{\cfrac {\exists x(P(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}}
没有P是M。
所有M是S。
∴ 有些S不是P。
(这种形式需要假定有些M确实存在。)[ 8]
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
M
(
x
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\quad \\{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\end{matrix}}\,{\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists xM(x)}{\exists x(M(x)\land M(x))}}}{\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
(EAO-4是EAO-3的等价形式。)
所有P是M。
没有M是S。
∴ 没有S是P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
S
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
S
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))\qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}}{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}}
没有P是M。
有些M是S。
∴ 有些S不是P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
(EIO-4是EIO-1的等价形式。)
有些P是M。
所有M是S。
∴ 有些S是P。
∃
x
(
P
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\cfrac {\exists x(P(x)\land M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow \ S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \ S(x))\qquad \exists x(P(x)\land M(x))}}{\cfrac {\exists x(P(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}}
结论弱化的论式
歷史上,AAI-3、EAO-3、AAI-4、EAO-4的拉丁語名字中有字母“p”,用来指示出这些论式通過引入了某个词项确实有元素存在的前提,将一个A 命题弱化成了I 命题。后人认为它們不是直言的即不是无条件的,这个问题被称为存在性引入问题 。
在假定结论的主词确定有成员存在的前提下,可将论式中的结论A 弱化为结论I ,结论E 弱化为结论O ,它们也可以被增补为有效论式,从而得到所有可能的24有效论式。结论弱化论式有5个:AAI-1 (Barbari),即弱化的AAA-1;EAO-1 (Celaront),即弱化的EAE-1;AEO-2 (Camestros),即弱化的AEE-2;EAO-2 (Cesaro),即弱化的EAE-2;AEO-4 (Calemos),即弱化的AEE-4。AAI-1的结论同于AII-1的结论,EAO-1、EAO-2的结论同于EIO-1的结论,AEO-2、AEO-4的结论同于AOO-2的结论,需要注意结论弱化论式原来的结论依然成立。
谓词演算公式的注解
按照布尔逻辑 和集合代数 的观点,三段论可以解释为:集合 (类 )
S
{\displaystyle \,S\,}
和集合
M
{\displaystyle \,M\,}
有某种二元关系 ,并且集合
M
{\displaystyle \,M\,}
和集合
P
{\displaystyle \,P\,}
有某种二元关系,从而推论出集合
S
{\displaystyle \,S\,}
和集合
P
{\displaystyle \,P\,}
是否存在进而为何种可确定的二元关系。两个集合之间的二元关系用直言命题可确定的有四种:
A (全称肯定)命题:所有
M
{\displaystyle \,M\,}
的元素是
N
{\displaystyle \,N\,}
的元素,确定了
M
{\displaystyle \,M\,}
“包含 于”
N
{\displaystyle \,N\,}
的关系,
M
{\displaystyle \,M\,}
是
N
{\displaystyle \,N\,}
的子集 ,
N
{\displaystyle \,N\,}
是
M
{\displaystyle \,M\,}
的超集 ,这是一种偏序关系 ,
L
{\displaystyle \,L\,}
包含于
M
{\displaystyle \,M\,}
,並且
M
{\displaystyle \,M\,}
包含于
N
{\displaystyle \,N\,}
,則
L
{\displaystyle \,L\,}
包含于
N
{\displaystyle \,N\,}
。A 命题允许两个推理方向,从元素属于
M
{\displaystyle \,M\,}
推出它属于
N
{\displaystyle \,N\,}
,从元素不属于
N
{\displaystyle \,N\,}
推出它不属于
M
{\displaystyle \,M\,}
。A 命题确定了
M
{\displaystyle \,M\,}
减
N
{\displaystyle \,N\,}
的差集 是空集 。
E (全称否定)命题:所有
M
{\displaystyle \,M\,}
的元素不是
N
{\displaystyle \,N\,}
的元素,确定了
M
{\displaystyle \,M\,}
和
N
{\displaystyle \,N\,}
是“无交集 ”的关系,这是一种对称关系 ,
M
{\displaystyle \,M\,}
无交集于
N
{\displaystyle \,N\,}
,同于
N
{\displaystyle \,N\,}
无交集于
M
{\displaystyle \,M\,}
。E 命题允许两个推理方向,从元素属于
M
{\displaystyle \,M\,}
推出它不属于
N
{\displaystyle \,N\,}
,从元素属于
N
{\displaystyle \,N\,}
推出它不属于
M
{\displaystyle \,M\,}
。E 命题确定了
M
{\displaystyle \,M\,}
与
N
{\displaystyle \,N\,}
的交集 是空集 。
I (特称肯定)命题:有些
M
{\displaystyle \,M\,}
的元素是
N
{\displaystyle \,N\,}
的元素,确定了
M
{\displaystyle \,M\,}
和
N
{\displaystyle \,N\,}
是“有交集 ”的关系,这是一种对称关系 ,
M
{\displaystyle \,M\,}
有交集于
N
{\displaystyle \,N\,}
,同于
N
{\displaystyle \,N\,}
有交集于
M
{\displaystyle \,M\,}
。I 命题确定了
M
{\displaystyle \,M\,}
与
N
{\displaystyle \,N\,}
的交集 不是空集 。
O (特称否定)命题:有些
M
{\displaystyle \,M\,}
的元素不是
N
{\displaystyle \,N\,}
的元素,确定了
M
{\displaystyle \,M\,}
“不包含 于”
N
{\displaystyle \,N\,}
的关系。O 命题确定了
M
{\displaystyle \,M\,}
减
N
{\displaystyle \,N\,}
的差集 不是空集 。
两个全称命题可以推出一个新的全称命题,一个全称命题和一个特称命题可以推出一个新的特称命题,两个特称命题无法推理。A 命题可以和所有四种命题組合。E 命题还可以和I 命题組合,两个否定命题和IE 组合,不能得出屬於四種命題之一的結論。故而有效的論式,要在AA 、AE 、EA 、AI 、IA 、AO 、OA 、EI 這8種組合乘以4種格,共32種情況中找出。
AA 组合中AAA-1是直接推出的;第4格AA 組合推论出谓词包含於主词的关系,这不是四种命题之一,只能在谓词确实有元素存在的前提下弱化为AAI-4。AE 组合中AEE-4是直接推出的,EA 组合中EAE-1是直接推出的。第3格AA 組合和EA 組合,在中項確定有元素存在的前提下,形成AAI-3和EAO-3。AAA-1、AAI-4、AAI-3没有等价者。通過對換其前提E 命題中主詞和謂詞的位置,從AEE-4得出其等價者AEE-2,從EAE-1的得出其等價者EAE-2,從EAO-3得出其等價者EAO-4。
AII-1、IAI-4是直接推出的,通過對換其前提I 命題中主詞和謂詞的位置,從AII-1得出其等價者AII-3,從IAI-4得出其等價者IAI-3。AOO-2和OAO-3在歷史上採用了反證法 ,这里采用了直接推理 中的“对置法”,AOO-2、OAO-3沒有等價者。EIO-1是直接推出的,通過對換其前提E 命题及/或 I 命題中主詞和謂詞的位置,從EIO-1得出其等價者EIO-2、EIO-3、EIO-4。
24論式圖示
下表以文氏圖 展示24個有效直言三段論,不同欄表示不同的前提,不同外框顏色表示不同的結論,需要存在性預設 的推理以虛線與斜體字標示。
参见
註解
中国社会科学院语言研究所词典编辑室. 现代汉语词典 2016年9月第七版. 商务印书馆. 2016: 1121 -1122 [2020-07-05 ] . ISBN 978-7-100-12450-8 (中文(大陆简体)) . .......【三段论】.......由大前提和小前提推出结论。如“凡金属都能导电”(大前提),“铜是金属”(小前提),“所以铜能导电”(结论)。.......
这个论式还可以推导为:
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
(
¬
M
(
x
)
)
)
∀
x
(
(
¬
M
(
x
)
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
(
¬
M
(
x
)
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(P(x)\rightarrow \lnot (\lnot M(x)))}}{\forall x((\lnot M(x))\rightarrow \lnot P(x))}}\quad {\cfrac {\forall x(S(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow (\lnot M(x)))}}}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}
这个论式还可以采用反证法 来推导:
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
¬
(
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
M
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
M
(
x
)
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
M
(
x
)
)
∧
M
(
x
)
)
⊥
⟹
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\cfrac {{\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\lnot (\exists x(S(x)\land \lnot P(x)))}{\forall x(S(x)\rightarrow P(x))}}}{\forall x(S(x)\rightarrow M(x))}}\quad {\cfrac {\exists x(S(x)\land \lnot M(x))}{\exists x((\lnot M(x))\land S(x))}}}{\cfrac {\exists x((\lnot M(x))\land M(x))}{\bot }}}\\\implies &{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \exists x(S(x)\land \lnot M(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}\end{aligned}}}
直接結論是:所有M是P且S。
∀
x
(
M
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
(
P
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
)
∃
x
M
(
x
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow (P(x)\land S(x)))}}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land P(x)))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}
直接結論是:所有M是S且非P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
(
(
¬
P
(
x
)
)
∧
S
(
x
)
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
)
∃
x
M
(
x
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow ((\lnot P(x))\land S(x)))}}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land \lnot P(x)))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
这个论式还可以采用反证法 来推导:
¬
(
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
P
(
x
)
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
P
(
x
)
)
∧
P
(
x
)
)
⊥
⟹
∃
x
(
M
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\cfrac {{\cfrac {{\cfrac {\lnot (\exists x(S(x)\land \lnot P(x)))}{\forall x(S(x)\rightarrow P(x))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\forall x(M(x)\rightarrow P(x))}}\quad {\cfrac {\exists x(M(x)\land \lnot P(x))}{\exists x((\lnot P(x))\land M(x))}}}{\cfrac {\exists x((\lnot P(x))\land P(x))}{\bot }}}\\\implies &{\cfrac {\exists x(M(x)\land \lnot P(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}\end{aligned}}}
在亞里士多德 《前分析篇 》裡關於AEE-2的論證中,對小前提進行對換主詞與謂詞位置之後,得出第4格的AEE-4,亞里士多德稱之為再次得到了第1格,沒有因為大項和小項位置顛倒而專門稱之為第4格。在亞里士多德的定義中第1格為中項既是一個前提的主詞又是另一個前提的謂詞。第4格中有4個論式是其他格的等價形式、1個論式是結論弱化形式,因此亞里士多德三段論體系並無缺失。
直接結論是:所有M是S且非P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
(
(
¬
P
(
x
)
)
∧
S
(
x
)
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
)
∃
x
M
(
x
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\forall x(M(x)\rightarrow ((\lnot P(x))\land S(x)))}}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land \lnot P(x)))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
引用
Aristotle , Prior Analytics . transl. Robin Smith (Hackett, 1989)ISBN 0-87220-064-7 .
Blackburn, Simon , 1996. "Syllogism" in the Oxford Dictionary of Philosophy . Oxford University Press. ISBN 0-19-283134-8 .
Broadie, Alexander, 1993. Introduction to Medieval Logic . Oxford University Press. ISBN 0-19-824026-0 .
Irving Copi , 1969. Introduction to Logic , 3rd ed. Macmillan Company.
Hamblin, Charles L. , 1970. Fallacies , Methuen : London, ISBN 0-416-70070-5 . Cf. on validity of syllogisms: "A simple set of rules of validity was finally produced in the later Middle Ages, based on the concept of Distribution.“
Jan Łukasiewicz , 1987 (1957). Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic . New York: Garland Publishers. ISBN 0824069242 . OCLC 15015545.
外部連結