在数学中,特别是抽象代数裡,拟群是一种类似于群的代数结构。拟群与群的相像之处是也能够进行除法运算,但拟群中并没有群所拥有的结合律。有单位元的拟群称作幺拟群或者圈(loop)。
定义
拟群的正规定义有两种,分别带有一种和三种二元运算。
代數
一个拟群 (Q, *) 是一个集合 Q 与一个二元运算 * 的结合(即一个原群),满足对 Q 中的任意元素 a 和 b,都存在唯一的 Q 中元素 x 和 y,使得:
;
。
这两个唯一的元素被记作:x = a \ b 和 y = b / a。其中“\” 和 “/”分别表示被二元运算所定义的“左除法”和“右除法”。拟群的公理化需要用到存在量词,因此也就需要建立在一阶逻辑之上。
泛代數
拟群的第二个定义是建立在泛代数的背景中。泛代数希望代数结构为簇,也就是说其公理化过程应该只需要到等式的概念。在这样的要求下,拟群被定义为:
一个拟群 (Q, *, \, /) 是一种 (2,2,2) 代数,其满足等式:
- y = x * (x \ y) ;
- y = x \ (x * y) ;
- y = (y / x) * x ;
- y = (y * x) / x 。
因此如果 (Q, *) 是依据第一种定义的拟群,那么 (Q, *, \, /) 则是其在泛代数范畴内对应的概念。
圈
一个有单位元的拟群称为一个幺拟群或一个圈。这里的单位元是指 Q 中元素 e 使得:
可以证明单位元 e 是唯一的,并且这时每一个 Q 中元素都有唯一的一个左逆元和右逆元。
例子
- 每个群都是圈,因为 a * x = b 当且仅当 x = a−1 * b,以及y * a = b 当且仅当 y = b * a−1。
- 整数集合 Z 以及其上的减法 (−) 构成拟群(但不构成半群)。
- 所有非零的有理数的集合 Q* (或者所有非零实数构成的 R*)以及其上的除法 (÷) 构成一个拟群。
- 所有特征不为2的域上的向量空间以及其上的二元运算 x * y = (x + y) / 2 构成了一个幂等的交换的拟群。
- 每个斯坦纳三元系统都定义了一个幂等交换的拟群:其运算为将 a * b 对应到包含 a 和 b 的三元数组的第三个元。
- 集合{±1, ±i, ±j, ±k},其中ii = jj = kk = 1 并且其他运算同于四元群,构成了非结合的8元圈。
- 非零八元数以及其上的乘法构成了一个圈,称为Moufang圈.
- 一般来说,一个可除代数上的所有非零元构成一个拟群。
性质
拟群具有可消去性:如果 ab = ac,那么 b = c。同样地,如果 ba = ca,那么 b = c。
左乘与右乘
拟群 Q 的定义说明拟群中的左乘变换和右乘变换:
![{\displaystyle L(x)y=xy\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c05daaee16d586c3a12653fd93fdc91edfe14d48)
![{\displaystyle R(x)y=yx\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17cf998047aadb822fc3c8ededc631ea2626865)
都是 Q 到自身的双射。原群 Q 是拟群当且仅当这两个变换是双射变换,而且它们的逆变换给出了右除和左除变换:
![{\displaystyle L(x)^{-1}y=x\backslash y\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f94bd98507f1ee6274c0b64cd45009d6aa780395)
![{\displaystyle R(x)^{-1}y=y/x\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/487e3688f8e8d64e8438159edcbf90c3d35c7a83)
在这种标记下,拟群写作:
![{\displaystyle {\begin{aligned}L(x)L(x)^{-1}&=1\qquad &x(x\backslash y)&=y\\L(x)^{-1}L(x)&=1\qquad &x\backslash (xy)&=y\\R(x)R(x)^{-1}&=1\qquad &(y/x)x&=y\\R(x)^{-1}R(x)&=1\qquad &(yx)/x&=y\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/797bf1a3957a72ccd057ce274564f629a4bdd23f)
拉丁方
一个有限拟群的乘法构成的乘法表是一个拉丁方:一个 n × n 的表格,每行每列都是 n 个不同的元素的排列,并且每个元素恰好出现在每一行和每一列各一次。
反之,每个拉丁方都可以以多种方式成为一个拟群的乘法表。
逆的性质
对于每个圈,圈中的每个元素都有左逆和右逆:
![{\displaystyle x^{\lambda }=e/x\qquad x^{\lambda }x=e}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c47d51b3c843fa60c38a6d8fabd10f775030ec9a)
![{\displaystyle x^{\rho }=x\backslash e\qquad xx^{\rho }=e}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c11da4bcfd454b1644ea7d05d2797a9bee67274)
称一个圈是双边可逆的,如果对圈所有的 x,
。 这时的拟元素一般简记为
。
- 一个圈有 左可逆性质,如果对所有的
和
都有
。同样地,
或者
。
- 一个圈有 右可逆性质,如果对所有的
和
都有
。 同样地,
或者
。
- 一个圈有 反自同构逆性质 ,如果
或者
。
- 一个圈有 弱可逆性质,如果
当且仅当
。一个等价的叙述是对所有的
和
都有
或者
。
如果一个圈同时具有左可逆和右可逆性质,则称其有 可逆性质。可逆的圈同时也拥有反自同构逆性质和弱可逆性质。实际上,满足以上四个性质中任意两个的圈都是可逆的,而满足前三个性质之一的圈都是双边可逆的。
态射
一个拟群或圈同态是两个拟群(圈)之间的映射:f : Q → P 满足 f(xy) = f(x)f(y)。 拟群同态保持了左右除法以及单位元(如果有的话)。
同伦与同痕
设 Q 和 P 为拟群,一个从 Q 到 P 的 拟群同伦 是一个从 Q 到 P 的映射三元组(α, β, γ) 使得对 Q 中所有的 x, y,有
![{\displaystyle \alpha (x)\beta (y)=\gamma (xy)\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbb0ed598e8767f6562dd3434de6fa403dc36d1c)
三个映射都相同时,就是一个拟群同态。
一个同痕是使得 (α, β, γ) 中所有的三个映射都是双射的拟群同伦。两个拟群是同痕的当且仅当它们之间存在同痕映射。
在拉丁方中,三元组 (α, β, γ) 由第 α 和第 β 列的一个置换以及其余集合上的一个置换 γ 给出。
一个自同痕是从 Q 射到自身的同痕。一个拟群的所有自同痕构成一个群。
每个拟群都与某个圈同痕。如果一个圈与某个群同痕,那么它与此群同构,因此也为一个群。但是,如果一个拟群与某个群同痕,由于缺乏单位元,拟群本身不一定是群。比如说,实数集合 R 与其上的运算(x+y)/2 构成的拟群同痕于 R 上的加法群,但它本身不是群。
参见
参考来源
- Akivis, M. A., and Goldberg, Vladislav V. (2001) "Solution of Belousov's problem," Discussiones Mathematicae. General Algebra and Applications 21: 93–103.
- Bruck, R.H. (1958) A Survey of Binary Systems. Springer-Verlag.
- Chein, O., H. O. Pflugfelder, and J. D. H. Smith, eds. (1990) Quasigroups and Loops: Theory and Applications. Berlin: Heldermann. ISBN 3-88538-008-0.
- Pflugfelder, H.O. (1990) Quasigroups and Loops: Introduction. Berlin: Heldermann. ISBN 3-88538-007-2.
- Smith, J.D.H. (2007) An Introduction to Quasigroups and their Representations. Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-537-8.
- -------- and Anna B. Romanowska (1999) Post-Modern Algebra. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-12738-8.
外部链接