給予在源位置
的電荷分佈,計算在場位置
產生的電勢。
源位置為
的點電荷
,其電勢
在場位置
為
;
其中,
是電常數,
是
與
之間的夾角。
假設
,場位置比源位置離原點更遠,則此距離倒數函數
以
的冪和勒壤得多項式展開為[1] :
。
應用球餘弦定律(spherical law of cosine),
表示為
。
這結果也可以直接用向量代數直接計算出來。
應用球諧函數加法定理,
又表示為[2]
;
其中,
是球諧函數。
將這方程式代入電勢的方程式,可以得到
。
點電荷的「球多極矩」 定義為
。
則電勢的方程式又可寫為
。
假設
,場位置比源位置離原點更近,則此距離倒數函數
可以以
的冪和勒壤得多項式展開:
。
點電荷的「內部球多極矩」(前述的球多極矩稱為外部球多極矩)定義為
。
則電勢的方程式寫為
。
類似地,假設
,場位置比源位置離原點更近,則電勢的方程式為
;
其中,電荷密度分佈的內部球多極矩定義為
。
- 立體調和函數(solid harmonics)
- 圓柱多極矩
Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. 146–148, 1998, ISBN 0-13-805326-X
Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 107–111, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1