在测量学 中,测量精度 (measuring accuracy)[ 1] [ 2] 或精準度 ,是衡量测量结果的真实性与可靠性的指标,通常包含精密度 [ 3] (precision,或译精确度 )、准确度 (accuracy)、正确度 (trueness)及公差 (tolerance)等含义。
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此条目页介紹的是衡量测量结果真实性与可靠性的指标。
關於衡量被测量值所处的量值范围的指标,請見「测量不确定度 」。
關於衡量某一测量值与其真实值之间的偏离程度的指标,請見「测量误差 」。
上述中,“准确度”被认为是由正确度和精密度组合而成,用于衡量观测结果与其真值之间的接近程度;“正确度”指测量值的数学期望与真实值之间的接近程度,反映了测量过程中系统误差 的大小;“精确度”指测量值与其数学期望 之间的离散程度,反映了测量过程中偶然误差 的大小。因此,准确度反映了偶然误差和系统误差的联合影响[ 4] 。
在中文语境下,「精度 」常被用于指精密度或是精确度,「準度 」则通常指准确度或是正确度的简称,「精準度 」则是两者複合的含糊用语。精度和准度的具体含意应根据语境进行判别,规范性文件则通常会回避对“精度”的使用以免造成歧义[ 5] [ 6] 。
依照ISO 5725-1给出的定义,准确度由正确度(Trueness)和精密度(Precision)组成,准确度衡量测量结果与参考值直接的接近程度,精确度衡量测量结果之间的接近程度
在1994年国际标准化组织 发布的关于测量精度概念的规范文件ISO 5725及其所对应的中华人民共和国国家标准 GB/T 6379-2004 《测量方法与结果的准确度(正确度与精密度)》中,对测量精度的描述被分为准确度、正确度和精密度三个概念。该规范性文件的第一部分给出了对这三个概念的定义:
准确度(英語:accuracy ):测试结果与接受参照值间的一致程度
正确度(英語:trueness ):由大量测试结果得到的平均数与接受参照值间的一致程度
精确度(英語:precision ):在规定条件下,独立测试结果间的一致程度
与之相关的还有偏倚、重复性、再现性的概念:
偏倚(英語:bias ):测试结果的期望与接受参照值之差
重复性(英語:repeatability ):在重复性条件下的精密度
再现性(英語:reproducibility ):在再现性条件下的精密度
另外,对于准确度,ISO 5725注明“当用于一组测试结果时,由随机误差分量和系统误差即偏倚分量组成”;对于重复性的注明是“正确度的度量通常用术语偏倚表示”以及“准确度曾被称为‘平均数的准确度’,这种用法不被推荐”;对于精密度的注明则是“精密度仅仅依赖于随机误差的分布而与真值或规定值无关”“ 精密度的度量通常以不精密度表达,其量值用测试结果的标准差来表示,精密度越低,标准差越大”。[ 7] [ 8]
除GB/T 6379-2004以外,中华人民共和国国家计量技术规范JJF 1001-2001 《通用计量术语及定义》中亦以相近的描述定义准确度、正确度和精密度。[ 9]
中国大陆使用的测绘学 领域规范性文件GB/T 14911-2008 《测绘基本术语》中仅定义了“准确度”与“精密度”:[ 10]
准确度(英語:accuracy ):在一定测量条件下,对某一次的多次测量中,测量值的估值与其真值的偏离程度
精密度(英語:precision ):在一定测量条件下,对某一次的多次测量中,各测量值间的离散程度
可见,测绘学中的“精密度”与ISO 5725及GB/T 6379-2004的概念相近,但前者的“准确度”则更接近于后者“正确度”的概念。而对于后者的“准确度”,测绘学有使用“精确度”一词来代称的情况。[ 4] 另外,测绘学中的“精度指标”通常是指平均误差、中误差、极限误差与相对误差等衡量精密度的指标。[ 11] [ 12] 在不存在系统误差时,测绘学中的“精确度”即可由“精度(精密度)”代称;而存在系统误差时,测绘学中的“精确度”则应由“精度(精密度)”和“准确度(正确度)”共同衡量。[ 5]
高准确度,高精密度
高准确度,低精密度
低准确度,高精密度
低准确度,低精密度
偶然误差是指在大小和符号上表现出偶然性,但总体上符合一定统计规律的误差,其数学期望为零。精密度即是对偶然误差统计的描述。
根据
E
[
Δ
]
=
0
{\displaystyle \operatorname {E} [\Delta ]=0}
的特性,可以得出偶然误差的中误差 [ 註 1] 为:
σ
=
E
[
Δ
2
]
−
E
[
Δ
]
2
=
E
[
Δ
2
]
{\displaystyle \sigma ={\sqrt {\operatorname {E} [\Delta ^{2}]-\operatorname {E} [\Delta ]^{2}}}={\sqrt {\operatorname {E} [\Delta ^{2}]}}}
其估计值由下列公式计算
σ
^
=
∑
i
=
1
n
Δ
2
n
{\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}\Delta ^{2}}{n}}}}
通过方差是中误差的平方的关系,亦可得到偶然误差的方差及其估计值。
对于正态分布,误差分布于与平均值距离一倍及二倍、三倍中误差之间的概率分别为
{
Pr
(
−
σ
<
Δ
<
+
σ
)
=
68.3
%
Pr
(
−
2
σ
<
Δ
<
+
2
σ
)
=
95.5
%
Pr
(
−
3
σ
<
Δ
<
+
3
σ
)
=
99.7
%
{\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Pr} (-\sigma <\Delta <+\sigma )=68.3\%\\\operatorname {Pr} (-2\sigma <\Delta <+2\sigma )=95.5\%\\\operatorname {Pr} (-3\sigma <\Delta <+3\sigma )=99.7\%\end{cases}}}
在远离平均值时,误差出现的概率相当接近于零,可以在假设检验 中将其排除,而选定的排除“该误差是偶然误差”这一假设的极限值即为极限误差。在测量学中,常以二倍或三倍中误差作为极限误差。
平均误差即平均绝对误差 ,对于一定观测条件下的某组独立的偶然误差来说,是其绝对值的数学期望:[ 4] [ 13] [ 14]
θ
=
E
[
|
Δ
|
]
{\displaystyle \theta =\operatorname {E} [\left\vert \Delta \right\vert ]}
相应的估计值为
θ
^
=
1
n
∑
i
=
1
n
|
Δ
|
{\displaystyle {\hat {\theta }}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left\vert \Delta \right\vert }
根据正态分布的概率分布函数,可以得出平均误差
θ
{\displaystyle \theta }
与中误差
σ
{\displaystyle \sigma }
之间的数学关系:
θ
=
∫
−
∞
+
∞
|
Δ
|
f
(
Δ
)
d
Δ
=
∫
0
+
∞
2
Δ
f
(
Δ
)
d
Δ
=
2
π
σ
{\displaystyle \theta =\int _{-\infty }^{+\infty }\left\vert \Delta \right\vert f(\Delta )\operatorname {d} \!\Delta =\int _{0}^{+\infty }2\Delta f(\Delta )\operatorname {d} \!\Delta ={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sigma }
即有
θ
≈
0.7979
σ
{\displaystyle \theta \approx 0.7979\sigma }
观测量
X
{\displaystyle X}
的均方误差
MSE
[
X
]
{\displaystyle \operatorname {MSE} [X]}
通过下列公式计算:[ 4] [ 14]
MSE
[
X
]
=
E
[
(
X
−
X
~
)
2
]
{\displaystyle \operatorname {MSE} [X]=\operatorname {E} [(X-{\tilde {X}})^{2}]}
将其进行分解,可以得出以方差和系统误差的平方和表示的均方误差:
MSE
[
X
]
=
E
[
(
X
−
X
~
)
2
]
=
E
[
[
(
X
−
E
[
X
]
)
+
(
E
[
X
]
−
X
~
)
]
2
]
=
E
[
(
X
−
E
[
X
]
)
2
+
2
(
X
−
E
[
X
]
)
(
E
[
X
]
−
X
~
)
+
(
E
[
X
]
−
X
~
)
2
]
=
E
[
(
X
−
E
[
X
]
)
2
]
+
2
E
[
(
X
−
E
[
X
]
)
(
E
[
X
]
−
X
~
)
]
+
E
[
(
E
[
X
]
−
X
~
)
2
]
=
σ
X
2
+
2
(
E
[
X
]
−
E
[
X
]
)
(
E
[
X
]
−
X
~
)
+
ε
2
=
σ
X
2
+
ε
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {MSE} [X]&=\operatorname {E} [(X-{\tilde {X}})^{2}]\\[4pt]&=\operatorname {E} [[(X-\operatorname {E} [X])+(\operatorname {E} [X]-{\tilde {X}})]^{2}]\\[4pt]&=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}+2(X-\operatorname {E} [X])(\operatorname {E} [X]-{\tilde {X}})+(\operatorname {E} [X]-{\tilde {X}})^{2}]\\[4pt]&=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]+2\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])(\operatorname {E} [X]-{\tilde {X}})]+\operatorname {E} [(\operatorname {E} [X]-{\tilde {X}})^{2}]\\[4pt]&=\sigma _{X}^{2}+2(\operatorname {E} [X]-\operatorname {E} [X])(\operatorname {E} [X]-{\tilde {X}})+\varepsilon ^{2}\\[4pt]&=\sigma _{X}^{2}+\varepsilon ^{2}\\[4pt]\end{aligned}}}
因此,均方误差被认为同时包含了对偶然误差和系统误差的定量描述,可以衡量测量学中的“精确度”。
存档副本 . [2022-11-15 ] . (原始内容存档 于2022-11-15).
存档副本 . [2022-11-15 ] . (原始内容存档 于2022-11-15).
ISO, ISO. "5725-1: 1994, Accuracy (trueness and precision) of measurement methods and results-Part 1: General principles and definitions." International Organization for Standardization, Geneva (1994).
GB/T 63792.1-2004.测量方法与结果的准确度 (正确度与精密度) 第 1 部分:总则与定义.
GB/T 12897-2006.国家一、二等水准测量规范.