彈性多面體

彈性多面體（或譯柔性多面體^[1]:27）是沒有固定邊界的多面體，可以不改變面的形狀、不折斷或彎曲任何面或邊，而改變其形狀。根據柯西剛性定理，在三維以及更高維度的空間中，這種多面體不能是凸的。

史特芬十四面體是目前已知結構最簡單的非面自相交的彈性多面體

最早發現的彈性多面體為布里卡爾八面體，於1897年由拉烏爾·布里卡爾（英语：Raoul Bricard）發現^[2]。其與正八面體同構，但存在自相交面，換句話說，其是一種底面為不固定形狀之反平行四邊形的雙四角錐^[3]。在${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$空間中，不自相交的彈性多面體的例子最早由羅伯特·康奈利（英语：Robert Connelly）於1977年發現，稱為康奈利形狀^[4]。克勞斯·史特芬（德语：Klaus Steffen）也提出了一個彈性多面體，稱為史特芬十四面體，是目前已知結構最簡單的非面自相交的彈性多面體^[5]，並且是基於布里卡爾八面體而產生的多面體。^[6]

風箱猜想

在1970年代後期羅伯特·康奈利（英语：Robert Connelly）和丹尼斯·蘇利文提出了风箱猜想，認為彈性多面體在改變形狀的過程體積會維持不變。後來，伊扎德·薩比托夫（俄语：Сабитов, Иджад Хакович）以消去理論（英语：Elimination theory）證明，與球同胚的多面體符合此猜想^[7]。再後來，康奈利、薩比托夫和安克·沃爾茲（Anke Walz）證明了具有可定向二維表面的任何多面體都能滿足此猜想。^[8]該證明過程將皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡提出的四面體體積公式^[9]推廣為任意多面體的體積公式。該體積公式表明，多面體的體積必為某個多項式的根，而該多項式的係數僅取決於多面體的邊長。由於邊長不會隨著多面體的變形過程改變，因此體積必須保持在多項式的有限個根之一，而不會連續變化。^[10]

切割全等

康奈利（英语：Robert Connelly）推測彈性多面體的登不變量（英语：Dehn invariant）在形變過程皆會保持不變。這被稱為強風箱猜想，在2018年獲證後又稱為強風箱定理。^[11]由於只要是同一種彈性多面體，不論其任一形變形式，體積與登不變量（英语：Dehn invariant）始終保持不變，因此不同形變形式之間必定切割全等。這意味著彈性多面體可藉由分解成多個小塊，重組成同一種彈性多面體的另一個形變模式。彈性多面體的平均曲率（定義為邊長與外二面角的乘積之和）是登不變量（英语：Dehn invariant）的函數，且這個不變量會在彈性多面體形變時保持不變。^[12]

非剛性多面體

剛性多面體是與彈性多面體多面體相對的概念，即多面體的所有面形狀皆固定的情況下僅能決定唯一邊界，不具備可活動性。而非剛性多面體多面體不一定是彈性多面體，部分多面體在邊長不變下允許面的形狀可些微改變（例如只架構多面體骨架的模型），因此其整體形狀是可變的，例如耶森二十面體。這類多面體有時被稱為「可活動的多面體」（shaky polyhedron）^[13][14]。

參見

• 希爾伯特第三問題

參考文獻

1. Ian Stewart; 张云（译）. 数学万花筒2：五彩缤纷的数学问题及知识. 人民邮电出版社. ISBN 9787115264473.
2. Bricard, R., Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé, J. Math. Pures Appl., 1897, 5 (3): 113–148 [2008-07-27], （原始内容存档于2012-02-16）
3. Gaifullin, Alexander A. Flexible polyhedra and their volumes. arXiv preprint arXiv:1605.09316. 2016.
4. Connelly, Robert, A counterexample to the rigidity conjecture for polyhedra, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 1977, 47 (47): 333–338 [2021-09-10], ISSN 1618-1913, MR 0488071, doi:10.1007/BF02684342, （原始内容存档于2021-01-29）
5. Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph, 23.2 Flexible polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge: 345–348, 2007, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878, doi:10.1017/CBO9780511735172.
6. Alexandrov, Victor, The Dehn invariants of the Bricard octahedra, Journal of Geometry, 2010, 99 (1–2): 1–13, MR 2823098, arXiv:0901.2989 , doi:10.1007/s00022-011-0061-7
7. Sabitov, I. Kh., On the problem of the invariance of the volume of a deformable polyhedron, Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 1995, 50 (2): 223–224, ISSN 0042-1316, MR 1339277
8. Connelly, Robert; Sabitov, I.; Walz, Anke, The bellows conjecture, Beiträge zur Algebra und Geometrie, 1997, 38 (1): 1–10 [2021-09-10], ISSN 0138-4821, MR 1447981, （原始内容存档于2021-07-09）
9. Simplex Volumes and the Cayley-Menger Determinant. MathPages.com. [2021-09-10]. （原始内容存档于2013-10-06）.
10. Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph, 23.2 Flexible polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge: 345–348, 2007, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878, doi:10.1017/CBO9780511735172
11. Gaĭfullin, A. A.; Ignashchenko, L. S., Dehn invariant and scissors congruence of flexible polyhedra, Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova, 2018, 302 (Topologiya i Fizika): 143–160, ISBN 5-7846-0147-4, MR 3894642, doi:10.1134/S0371968518030068
12. Alexander, Ralph, Lipschitzian mappings and total mean curvature of polyhedral surfaces. I, Transactions of the American Mathematical Society, 1985, 288 (2): 661–678, JSTOR 1999957, MR 0776397, doi:10.2307/1999957 
13. Goldberg, Michael. Unstable polyhedral structures. Mathematics Magazine. 1978, 51 (3): 165–170. JSTOR 2689996. MR 0498579. doi:10.2307/2689996.
14. Weisstein, Eric W. (编). Shaky Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因. Flexible Polyhedron. MathWorld.