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泰勒斯定理(英語:Thales' theorem)以古希腊思想家、科学家、哲学家泰勒斯的名字命名,其内容为:若A, B, C是圆周上的三點,且AC是该圆的直徑,那么∠ABC必然為直角。或者说,直径所对的圆周角是直角。该定理在欧几里得《几何原本》第三卷中被提到并证明[1]。
以下證明主要使用兩個定理:
設O為圓心,因為OA = OB = OC,所以△OAB和△OBC都是等腰三角形。因為等腰三角形底角相等,故有∠OBC = ∠OCB,且∠BAO = ∠ABO。設α = ∠BAO,β = ∠OBC。在△ABC中,因为三角形的内角和等于180°,所以有
泰勒斯定理也可以用三角学方法证明,证明如下:
令O =(0, 0), A =(-1, 0), C =(1, 0)。此时,B就是单位圆上的一点。我们将通过证明AB与BC 垂直,即它们的斜率之积等于–1,来证明这个定理。计算AB和BC的斜率:
并证明它们的积等于–1:
注意以上证明过程中运用了毕达哥拉斯三角恒等式。
此證明使用兩線的向量形成直角三角形,若且唯若其內積為零。設有直角三角形ABC,和以AC為直徑的圓O。設O在原點,以方便計算。则AB和BC的內積為:
故A和B與圓心等距,即B在圆上。
泰勒斯定理是「同弧所对的圓周角是圓心角的一半」的一個特殊情況。
以下是泰勒斯定理的一个相关定理:
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