法图引理

在测度论中，法图引理说明了一个函数列的下极限的积分（在勒贝格意义上）和其积分的下极限的不等关系。法图引理的名称来源于法国数学家皮埃尔·法图（Pierre Fatou），被用来证明测度论中的法图-勒贝格定理和勒贝格控制收敛定理。

叙述

设${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$为一个测度空间， ${\displaystyle (f_{n})_{n\geq 0}}$是一个实值的可测正值函数列。那么：

${\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.}$

其中的函数极限是在逐点收敛的意义上的极限，函数的取值和积分可以是无穷大。

证明

定理的证明基于单调收敛定理（非常容易证明）。设${\displaystyle f}$为函数列${\displaystyle (f_{n})_{n\geq 0}}$ 的下极限。对每个正整数${\displaystyle k}$，逐点定义下极限函数：

${\displaystyle g_{k}=\inf _{n\geq k}f_{n}.}$

于是函数列${\displaystyle g_{1},g_{2},\ldots }$单调递增并趋于${\displaystyle f}$ 。

任意${\displaystyle k\leq n}$，我们有${\displaystyle g_{k}\leq f_{n}}$，因此

${\displaystyle \int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \int _{S}f_{n}\,d\mu ,}$

于是

${\displaystyle \int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu .}$

据此，由单调收敛定理以及下极限的定义，就有：

${\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.}$

反向法图引理

令${\displaystyle (f_{n})}$为测度空间${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$中的一列可测函数，函数的值域为扩展实数（包括无穷大）。如果存在一个在 ${\displaystyle S}$上可积的正值函数${\displaystyle g}$，使得对所有的${\displaystyle n}$都有${\displaystyle f_{n}\leq g}$，那么

${\displaystyle \int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \geq \limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .}$

这里${\displaystyle g}$只需弱可积，即${\displaystyle \textstyle \int _{S}g\,d\mu <\infty }$。

证明：对函数列${\displaystyle (g-f_{n})}$应用法图引理即可。

推广

推广到任意实值函数

法图引理不仅对取正值的函数列成立，在一定限制条件下，可以扩展到任意的实值函数。令${\displaystyle (f_{n})_{n\geq 0}}$为测度空间${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$中的一列可测函数，函数的值域为扩展实数（包括无穷大）。如果存在一个在${\displaystyle S}$上可积的正值函数${\displaystyle g}$，使得对所有的${\displaystyle n}$都有${\displaystyle f_{n}\geq g}$，那么

证明：对函数列${\displaystyle \scriptstyle (f_{n}-g)}$应用法图引理即可。

逐点收敛

在以上的条件下，如果函数列在${\displaystyle S}$上μ-几乎处处逐点收敛到一个函数${\displaystyle \scriptstyle f}$，那么

${\displaystyle \int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.}$

证明：${\displaystyle \scriptstyle f}$是函数列的极限，因此自然是下极限。此外，零测集上的差异对于积分值没有影响。

依测度收敛

如果函数列在${\displaystyle S}$上依测度收敛到${\displaystyle f}$，那么上面的命题仍然成立。

证明：存在${\displaystyle \scriptstyle (f_{n})}$的一个子列使得

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{S}f_{n_{k}}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.}$

这个子列仍然依测度收敛到${\displaystyle \scriptstyle f}$，于是又存在这个子列的一个子列在${\displaystyle S}$上μ-几乎处处逐点收敛到${\displaystyle f}$，于是命题成立。

外部链接

• 法图引理. PlanetMath.

参考来源

• H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.