一笔画问题
圖論問題 来自维基百科,自由的百科全书
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一笔画问题(Eulerian graph)是图论中一个著名的问题。一笔画问题起源于柯尼斯堡七桥问题。数学家欧拉在他1736年发表的论文《柯尼斯堡的七桥》中不仅解决了七桥问题,也提出了一笔画定理,顺带解决了一笔画问题[1]。一般认为,欧拉的研究是图论的开端。
能夠在不重複折返的前提下一笔画寫出或一次走完該路徑的條件,是文字、圖形、路徑的奇顶点的數目正好是0個或2個時,而如果奇顶点的數目兩個時,必須正好為起點或終點,奇顶点是指該點延展出奇數數目的方向,例如T字路口延展出三條道路方向,而線段的端點也是只有一個方向的奇顶点
一笔画问题是柯尼斯堡问题经抽象化后的推广,是图遍历问题的一种。在柯尼斯堡问题中,如果将桥所连接的地区视为点,将每座桥视为一条边,那么问题将变成:对于一个有着四个顶点和七条边的连通图 ,能否找到一个恰好包含了所有的边,并且没有重复的路径。欧拉将这个问题推广为:对于一个给定的图,怎样判断是否存在着一个恰好包含了所有的边,并且没有重复的路径?这就是一笔画问题。用图论的术语来说,就是判断这个图是否是一个能够遍历完所有的边而没有重复。这样的图现称为欧拉图。这时遍历的路径称作欧拉路径(一个环或者一条链),如果路径闭合(一个圈),则称为欧拉回路[1]。
一笔画问题的推广是多笔画问题,即对于不能一笔画的图,探讨最少能用多少笔来画成。
对于一笔画问题,有两个判断的准则,它们都由欧拉提出并证明[1]。
连通的无向图 有欧拉路径的充要条件是:中奇顶点(连接的边数量为奇数的顶点)的数目等于0或者2。
连通的无向图 是欧拉环(存在欧拉回路)的充要条件是:中每个顶点的度都是偶数。[2]。
连通无向图有欧拉路径的充要条件也可以写作“图中奇顶点数目不多于2个”,这是因为奇顶点数目不可能是1个。实际上,连通无向图中,奇顶点的数目总是偶数。
对于不连通的无向图,如果有两个互不连通的部分都包含至少一条边,那么显然不能一笔画。只有当此图的边全都在某一个连通部分中(即其它的连通部分都是一个个孤立的顶点,度数为0),并满足连通无向图关于一笔画的充要条件,而该图才能一笔画。也即是说,可以一笔画的(无向)图如果不是连通图,就必定是一个可以一笔画的连通图与若干个孤立顶点的组合。
除了用顶点的度数作为判定的充要条件,还可以用图中边的特性来作为欧拉回路存在的判定准则。连通的无向图 中存在欧拉回路,等价于图所有的边可以划分为若干个环的不交并。具体来说,等价于存在一系列的环,使得图里的每一条边都恰好属于某一个环。
如果连通无向图 有 个奇顶点,那么它可以用 笔画成,并且至少要用 笔画成[2]。
对有向图来说,一笔画不仅指遍历所有边,而且要遵循正确的方向。严谨地说,一个连通有向图有欧拉路径,指存在一个顶点,从它出发,沿着有向边的方向,可以不重复地遍历图中所有的边。有向图的欧拉回路则是指可以从某一顶点开始,沿有向边的方向不重复地遍历所有边,然后回到原来出发的顶点。用类似于定理一中证明的思路,可以得到有向图一笔画的判定准则:
图一是七桥问题抽象化後得到的模型,由四个顶点和七条边组成。由於四个顶点全是奇顶点,由定理一(奇顶点的數目正好是0個或2個)可知无法一笔画成。
图二是中文“串”字。由于只有最上方和最下方的顶点是奇顶点,由定理一知它可以一笔寫成,圖片內給出了一個例子。
圖三的六角星因每個頂點都是偶頂點,如上,由定理一得知,不論是由哪個點出發,它都可以一筆畫成。
圖四(和圖五)的圖只有最左下方和最右下方的頂點是奇頂點,由定理一知它可以一筆畫成,由其中一個奇頂點畫到另一個奇頂點。
一笔画问题讨论的是能否不重复地遍历一个图的所有边,至于其中有否顶点的遍历或重复经过则没有要求。哈密顿问题讨论的则是顶点的遍历:能否不重复地遍历一个图的所有顶点?[4]哈密顿问题由哈密顿在1856年首次提出,至今尚未完全解决[2]。
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