样本方差

样本方差是依据所给样本对随机变量的方差做出的一个估计。

定义

设 ${\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}}$ 是随机变量 ${\displaystyle X}$ 的 ${\displaystyle n}$ 个样本，则样本方差定义为：

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}$

其中 ${\displaystyle {\bar {X}}}$ 为样本均值。

根据该定义，可以得出：

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}(\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-n{\bar {X}}^{2}).}$

无偏性

若随机变量 ${\displaystyle X}$ 的期望为 ${\displaystyle \mu }$、方差为 ${\displaystyle \sigma ^{2}}$，则样本方差的期望满足：

${\displaystyle \operatorname {E} (s^{2})={\frac {1}{n-1}}{\big [}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (X_{i}^{2})-n\operatorname {E} ({\bar {X}}^{2}){\big ]}={\frac {1}{n-1}}{\big [}\sum _{i=1}^{n}(\sigma ^{2}+\mu ^{2})-n({\frac {\sigma ^{2}}{n}}+\mu ^{2}){\big ]}=\sigma ^{2}}$

即样本方差是总体方差的无偏估计。

样本方差的定义中，分母的值为${\displaystyle n-1}$而非${\displaystyle n}$，一个重要原因即是这样定义的样本方差是总体方差的无偏估计。这被称为贝塞尔修正。

样本方差的分布

样本方差作为随机变量的（可测）函数，其本身也是一个随机变量。在某些特殊情况下样本方差的分布是已知的。例如，若${\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}}$是独立同分布的正态随机变量，均值和方差为${\displaystyle \mu }$和${\displaystyle \sigma ^{2}}$，则${\displaystyle (n-1)s^{2}/\sigma ^{2}}$服从自由度为${\displaystyle n-1}$的卡方分布。