差分

差分，又名差分函數或差分運算，一般是指有限差分（英語：Finite difference），是数学中的一个概念，将原函数 ${\displaystyle f(x)}$ 映射到 ${\displaystyle f(x+a)-f(x+b)}$。差分運算，相應於微分運算，是微积分中重要的一个概念。

此条目页的主題是数学当中的一种函数或运算。关于电子系统设计与信号传输中的差分传输，請見「差分信号」。

定义

差分分为前向差分和逆向差分。

前向差分

函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数${\displaystyle \ f(x)}$，如果在等距节点：

${\displaystyle x_{k}=x_{0}+kh,(k=0,1,...,n)}$

${\displaystyle \ \Delta f(x_{k})=f(x_{k+1})-f(x_{k})}$

则称${\displaystyle \ \Delta f(x)}$，函数在每个小区间上的增量${\displaystyle y_{k+1}-y_{k}}$为${\displaystyle \ f(x)}$一阶差分。^[1]

在微积分学中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在离散的函数中的等效运算。差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当${\displaystyle \ f(x)}$是多项式时，前向差分为Delta算子（称${\displaystyle \Delta }$为差分算子^[2]），一种线性算子。前向差分会将多项式阶数降低 1。

逆向差分

对于函数${\displaystyle \ f(x_{k})}$，如果：

${\displaystyle \ \nabla f(x_{k})=f(x_{k})-f(x_{k-1}).\,}$

则称${\displaystyle \ \nabla f(x_{k})}$为${\displaystyle \ f(x)}$的一阶逆向差分。

差分的阶

一阶差分的差分为二阶差分，二阶差分的差分为三阶差分，其余类推。记：

${\displaystyle \ \Delta ^{n}[f](x)}$为${\displaystyle \ f(x)}$的${\displaystyle \ n}$阶差分。

如果

${\displaystyle \ \Delta ^{n}[f](x)}$	${\displaystyle \ =\Delta \{\Delta ^{n-1}[f](x)\}}$
	${\displaystyle \ =\Delta ^{n-1}[f](x+1)-\Delta ^{n-1}[f](x)}$

根据数学归纳法，有

${\displaystyle \ \Delta ^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(-1)^{n-i}f(x+i)}$

其中，${\displaystyle \ {n \choose i}}$为二项式系数。

特别的，有

${\displaystyle \ \Delta ^{2}[f](x)=f(x+2)-2f(x+1)+f(x)}$

前向差分有时候也称作数列的二项式变换

差分的性质

对比解析函数中的微分的属性，差分的性质有：

• 如果C为常数，则有

${\displaystyle \Delta C=0}$

• 线性：如果 ${\displaystyle \ a}$ 和 ${\displaystyle \ b}$ 为常数，则有

${\displaystyle \Delta (af+bg)=a\Delta f+b\Delta g}$

• 乘法定则(此处步长${\displaystyle h\equiv 1}$)：

${\displaystyle \Delta (fg)=f\Delta g+g\Delta f+\Delta f\Delta g}$

${\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f-\nabla f\nabla g}$

• 除法定则：

${\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {1}{g}}\det {\begin{bmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{bmatrix}}\det {\begin{bmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{bmatrix}}^{-1}}$

${\displaystyle \Delta \left({\dfrac {f}{g}}\right)={\dfrac {1}{g}}\det {\begin{bmatrix}\Delta f&\Delta g\\f&g\end{bmatrix}}\det {\begin{bmatrix}g&\Delta g\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}}$

或

${\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\nabla f-f\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}}}$

${\displaystyle \Delta \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\Delta f-f\Delta g}{g\cdot (g+\Delta g)}}}$

• 级数：

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}\Delta f(n)=f(b+1)-f(a)}$

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}\nabla f(n)=f(b)-f(a-1)}$

牛頓級數

参见：均差

《自然哲學的數學原理》的第三編“宇宙體系”的引理五的图例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N，對應著6個值A,B,C,D,E,F，生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值，計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。

牛頓插值公式也叫做牛頓級數，由“牛頓前向差分方程”的項組成，得名於伊薩克·牛頓爵士，最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編“宇宙體系”的引理五^[3]，此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。

單位步長情況

當${\displaystyle x}$值間隔為單位步長${\displaystyle 1}$時，有：

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\frac {x-a}{1}}\left[\Delta ^{1}[f](a)+{\frac {x-a-1}{2}}\left(\Delta ^{2}[f](a)+\cdots \right)\right]\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{n}\Delta ^{k}[f](a)\prod _{i=1}^{k}{\frac {[(x-a)-i+1]}{i}}\\&=\sum _{k=0}^{n}{x-a \choose k}~\Delta ^{k}[f](a)\\\end{aligned}}}$

這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。這裡的表達式

${\displaystyle {x \choose k}={\frac {(x)_{k}}{k!}}\quad \quad (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}$

是二項式係數，其中的${\displaystyle (x)_{k}}$是“下降階乘冪”(另一種常見的標記法為${\displaystyle x^{\underline {k}}}$)，空積${\displaystyle (x)_{0}}$被定義為${\displaystyle 1}$。這裡的${\displaystyle \Delta _{k}\left[f\right](x)}$是“前向差分”的特定情況，即間距${\displaystyle h=1}$。

實例

為了展示牛頓的這個公式是如何使用的，舉例數列 1, 4, 9,16...的前幾項，可以找到一個多項式重新生成這些值，首先計算一個差分表，接著將對應於x₀（標示了下劃線）的這些差分代換入公式，

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline x&\Delta ^{0}&\Delta ^{1}&\Delta ^{2}&\Delta ^{3}\\\hline 1&{\underline {1}}&&&\\&&{\underline {3}}&&\\2&4&&{\underline {2}}&\\&&5&&{\underline {0}}\\3&9&&2&\\&&7&&\\4&16&&&\\\hline \end{array}}&\quad {\begin{aligned}f(x)&=\Delta ^{0}+\Delta ^{1}{\dfrac {(x-x_{0})}{1!}}+\Delta ^{2}{\dfrac {(x-x_{0})(x-x_{0}-1)}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\&=1+3\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\&=1+3(x-1)+(x-1)(x-2)\\&=x^{2}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

一般情況

對於x值間隔為非一致步長的情況，牛頓計算均差，在間隔一致但非單位量時，即上述前向差分的一般情況，插值公式為：

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\frac {x-a}{h}}\left[\Delta _{h}^{1}[f](a)+{\frac {x-a-h}{2h}}\left(\Delta _{h}^{2}[f](a)+\cdots \right)\right]\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!h^{k}}}\prod _{i=0}^{k-1}[(x-a)-ih]\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!}}\prod _{i=0}^{k-1}\left({\frac {x-a}{h}}-i\right)\end{aligned}}}$

在最終公式中h^k被消去掉了，對於非一致步長的情況則不會出現階乘。

参考

1. 科学出版社 《数值分析及科学计算》 薛毅（编） 第六章 第2节 Newton插值. P204.
2. 科学出版社 《数值分析及科学计算》 薛毅（编） 第六章 第2节 Newton插值. P205.
3. Newton, Isaac, (1687). Principia, Book III, Lemma V, Case 1

参见

• 递归
• 招差术
• 遞迴關係式
• 拉格朗日多项式
• 吉尔布雷斯猜想
• 牛顿多项式
• 牛顿级数表
• 泰勒级数
• 时标微积分
• 分部求和法

参考文献

• Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert, Mellin transforms and asymptotics: Finite differences and Rice's integrals, Theoretical Computer Science, 1995, 144 (1–2): 101–124, doi:10.1016/0304-3975(94)00281-M^{[永久失效連結]}.