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用來判斷某整數是否為另一個整數的倍數的規則 来自维基百科,自由的百科全书
整除是数学中两自然数间一种关系。自然数甲可被自然数乙整除,是指乙是甲的因數,且甲是乙的整数倍数,也就是甲除以乙没有餘数。下面列出了十进制中判断整数除以另一整数的商为整数,且余数为零的一些规则。
2和5都是10的因数,在十进制判別是否有或的因數只須取其最後k位,除以或,可除盡即是:
上面的性质亦可推广到求余数:
甚至非十进制下也是一样。例如十二进制:2、3、4、6都是12的因数,故某数的末k位除以、、、,所得余数与原数同余。
注意到我们现在是在十进制运算,而9=10-1。对于任意进制的非负整数除法,当除数是时被除数中所有数字相加的和仍与该被除数同余。
证明:
若a=75312289,则a=75×1000²+312×1000+289,289-312+75=52,a能被13整除,不能被7和11整除。[1]
若某整數能整除某合數則某整數必同時整除所有某合數的質因數。
若,且
則
整除数 | 整除规则 | 示例 |
---|---|---|
2 | 末位是偶数(0、2、4、6、8)。 | 1294:末位4是偶数,能被2整除。 |
3 | 计算各位之和,其结果能被3整除。 | 405:4+0+5=9,636:6+3+6=15,两者都能被3整除。 16兆4992億0585萬4376:1+6+4+9+9+2+0+5+8+5+4+3+7+6=69→6+9=15→1+5=6,能被3整除。 |
分别统计1、4、7出现总数与2、5、8出现总数,两者之差能被3整除。 | 16兆4992億0585萬4376:数字1、4、7出现总数是4,数字2、5、8出现总数是4,4-4=0,能被3整除。 | |
4 | 末两位能被4整除。 | 40832:末两位32,能被4整除。 |
十位数为偶数时,个位数为0、4、8。 十位数为奇数时,个位数为2、6。 |
40832:十位数3是奇数,个位数为2,能被4整除。 | |
十位数乘2加个位数,其结果能被4整除。 | 40832:2×3+2=8,能被4整除。 | |
5 | 末位是0、5。 | 495:末位是5,能被5整除。 |
6 | 能同时被2、3整除。 | 1458:1+4+5+8=18,能被3整除;末位数2是偶数,能被2整除,继而能被6整除。 |
7 | 每三位分组,从右往左每组交替加减,其结果能被7整除。 | 136萬9851:851-369+1=483,能被7整除。 |
从右往左每六位为一组,每组相加的结果能被7整除。 | 1649萬8888:16+498888=498904,能被7整除。 | |
个位数乘2,并从其余位中减去,其结果能被7整除。 | 483:48-3×2=42,能被7整除。 | |
个位数乘5,加到其余位中,其结果能被7整除。 | 483:48+3×5=63,能被7整除。 | |
最高位乘3,与次高位相加,替换掉头两位,其能被7整除。 | 483:4×3+8=20,将20替换掉48;
203:2×3+0=6,将6替换掉20;63:6×3+3=21,能被7整除。 | |
末两位加其余位乘以2,其结果能被7整除。 | 48萬3595:4835×2+95=9765,97×2+65=259,2×2+59=63,能被7整除。 | |
从末位起由右至左依次乘1、3、2、−1、−3、−2(循环),相加的结果能被7整除。 | 48萬3595:4×(−2)+8×(−3)+3×(−1)+5×2+9×3+5×1=7,能被7整除。 | |
8 | ||
百位数是奇数时,末两位加4是个能被8整除的数字。 | 352:百位数3是奇数,末两位52+4=56,能被8整除。 | |
末位加其余位乘2,其结果能被8整除。 | 56:5×2+6=16,能被8整除。 | |
末三位能被8整除。 | 34152:末三位152能被8整除。 | |
百位乘4加十位乘2加个位,其结果能被8整除。 | 34152:1×4+5×2+2=16,能被8整除。 | |
9 | 计算各位之和,其结果能被9整除。 | 2880:2+8+8+0=18:1+8=9,能被9整除。 |
10 | 末位是0。 | 130:末位是0,能被10整除。 |
11 | 从高位到低位交错加减,其结果能被11整除。 | 91萬8082:9-1+8-0+8-2=22,能被11整除。 |
从右往左每两位为一组,每组相加的结果能被11整除。 | 627:6+27=33,能被11整除。 50215:5+02+15=22,能被11整除。 | |
末位被其余位减去,其结果能被11整除。 | 627:62-7=55,能被11整除。 | |
将个位数加到百位中,其结果能被11整除。 | 627:62+70=132:13+20=33,能被11整除。 | |
该数为偶数位数时,首位减末位,加到其余位,其结果能被11整除。 | 91萬8082(六位数):1808+(9-2)=1815,81+1-5=77,能被11整除。 | |
该数为奇数位数时,首位加末位,从其余位中减去,其结果能被11整除。 | 14179(五位数):417-(1+9)=407,0-(4+7)=−11,能被11整除。 | |
12 | 能同时被3、4整除。 | 288:能同时被3、4整除,继而能被12整除。 |
将末位从其余位乘2中减去,其结果能被12整除。 | 288:28×2-8=48,能被12整除。 | |
13 | 每三位分组,从右往左每组交替加减,其结果能被13整除。 | 291萬1272:2-911+272=−637,能被13整除。 |
从右往左每六位为一组,每组相加的结果能被13整除。 | 1億6148萬0059:161+480059=480220,能被13整除。 | |
末位乘4,加到其余位中,其结果能被13整除。 | 637:63+7×4=91,9+1×4=13,能被13整除。 | |
将末两位从其余位乘4中减去,其结果能被13整除。 | 923:9×4-23=13,能被13整除。 | |
末位乘9,从其余位中减去,其结果能被13整除。 | 637:63-7×9=0,能被13整除。 | |
14 | 能同时被2、7整除。 | 224:能同时被2、7整除,继而能被14整除。 |
末两位与其余位乘2相加,其结果能被14整除。 | 364:3×2+64=70 1764:17×2+64=98,两者都能被14整除。 | |
15 | 能同时被3、5整除。 | 390:能同时被3、5整除,继而能被15整除。 |
16 | ||
千位数是奇数时,末三位加8能被16整除。 | 3408:千位数3是奇数,末三位408+8=416,能被16整除。 | |
末两位与其余位乘4相加,其结果能被16整除。 | 176:1×4+76=80,
1168:11×4+68=112,两者都能被16整除。 | |
末四位能被16整除。 | 15萬7648:末四位7648能被16整除。 | |
17 | 末位乘5,从其余位中减去,其结果能被17整除。 | 221:22-1×5=17,能被17整除。 |
将末两位从其余位乘2中减去,其结果能被17整除。 | 4675:46×2-75=17,能被17整除。 | |
从右往左每八位为一组,从右往左每组交替加减,其结果能被17整除。 | 1億1725萬0581:17250581-1=17250580,能被17整除。 | |
18 | 能同时被2、9整除。 | 342:能同时被2、9整除,继而能被18整除。 |
19 | 末位乘2,加到其余位中,其结果能被19整除。 | 437:43+7×2=57,能被19整除。 |
末两位乘4,加到其余位中,其结果能被19整除。 | 6935:69+35×4=209,能被19整除。 | |
从右往左每九位为一组,从右往左每组交替加减,其结果能被19整除。 | 11億7225萬0581:172250581-1=172250580,能被19整除。 | |
20 | 末位是0,次末位是偶数。 | 360:末位是0,次末位6是偶数,能被20整除。 |
末两位能被20整除。 | 480:末两位80,能被20整除。 | |
21 | 末位乘2,从其余位中减去,其结果能被21整除。 | 168:16-8×2=0,能被21整除。 |
能同时被3、7整除。 | 231:能同时被3、7整除,继而能被21整除。 | |
22 | 能同时被2、11整除。 | 352:能同时被2、11整除,继而能被22整除。 |
23 | 末位乘7,加到其余位中,其结果能被23整除。 | 3128:312+8×7=368,36+8×7=92,能被23整除。 |
末两位乘3,加到其余位中,其结果能被23整除。 | 1725:17+25×3=92,能被23整除。 | |
末三位乘2,与其余位相减,其结果能被23整除。 | 13萬7931:931×2=1862,1862-137=1725,能被23整除。 | |
24 | 能同时被3、8整除。 | 864:能同时被3、8整除,继而能被24整除。 |
25 | 末两位是能被25整除的数(00、25、50、75) | 13萬4250:末两位50,能被25整除。 |
26 | 能同时被2、13整除。 | 156:能同时被2、13整除,继而能被26整除。 |
27 | 每三位分组,各组相加,其结果能被27整除。 | 264萬4272:2+644+272=918,能被27整除。 |
末位乘8,从其余位中减去,其结果能被27整除。 | 621:62-1×8=54,能被27整除。 | |
将末两位从其余位乘8中减去,其结果能被27整除。 | 6507:65×8-7=520-7=513,能被27整除。 | |
28 | 能同时被4、7整除。 | 140:能同时被4、7整除,继而能被28整除。 |
29 | 末位乘3,加到其余位中,其结果能被29整除。 | 493:49+3×3=58,能被29整除。 |
末两位乘9,加到其余位中,其结果能被29整除。 | 5510:55+10×9=145,能被29整除。 | |
末三位乘2,与其余位相减,其结果能被29整除。 | 17萬3913:913×2=1826,1826-173=1653,能被29整除。 | |
30 | 末位是0,次各位之和能被3整除。 | 270:能同时被3、10整除,继而能被30整除。 |
31 | 末位乘3,从其余位中减去,其结果能被31整除。 | 341:34-1×3=31,能被31整除。 |