穆尔-彭罗斯广义逆(英語:Moore–Penrose pseudoinverse),通常標記為
或
,是著名的广义逆矩阵之一。
1903年,埃里克·伊瓦爾·弗雷德霍姆提出积分算子的伪逆的概念。穆尔-彭罗斯广义逆先后被E·H·穆爾(1920年)[1]、阿尔内·比耶哈马尔(1951年) [2]、羅傑·潘洛斯(1955年)[3]发现或描述。
它常被用于求得或简化非一致线性方程组的最小范数最小二乘解(最小二乘法)。
矩阵的穆尔-彭罗斯广义逆在实数域和复数域上都是唯一的,并且可以通过奇异值分解求得。
令PS表示到向量空间S上的正交投影。对于任意一个m乘n的复矩阵A,设R(A)表示A的值域空间。穆尔于1935年证明矩阵A的广义逆矩阵G必须满足的条件:
以上两个条件称为穆尔条件。满足穆尔条件的矩阵G称为矩阵A的穆尔逆矩阵。
伪逆存在且唯一:对于任何矩阵
,恰好有一个矩阵
满足定义的四个性质。[4]
满足该定义的第一个条件的矩阵被称为广义逆。如果该矩阵也满足第二个定义,它就被称为广义反身逆阵(generalized reflexive inverse)。广义逆矩阵总存在,但一般不唯一。唯一性是最后两个条件的结果。
令
,下列等式等价:[6]
![{\displaystyle (AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c24383e80487eaae0cf7eac8b3262c91acea63)
![{\textstyle {\begin{aligned}A^{\dagger }ABB^{*}A^{*}&=BB^{*}A^{*},\\BB^{\dagger }A^{*}AB&=A^{*}AB.\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e9ed0e7e051dd77da6b7f0ca3b2fdbc1196babb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(A^{\dagger }ABB^{*}\right)^{*}&=A^{\dagger }ABB^{*},\\\left(A^{*}ABB^{\dagger }\right)^{*}&=A^{*}ABB^{\dagger }.\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba6fab0616dca1ced257fe1ddc8dbbe0e29ceba0)
![{\displaystyle A^{\dagger }ABB^{*}A^{*}ABB^{\dagger }=BB^{*}A^{*}A}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44215186b7058f63b3af2cfd5d44ebfe2f164a0b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A^{\dagger }AB&=B(AB)^{\dagger }AB,\\BB^{\dagger }A^{*}&=A^{*}AB(AB)^{\dagger }.\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27678bca3bd5a8db412a4987ce932ebefe14e4a2)
下方列出了
的充分条件:
的列单位正交(此时
),或
的行单位正交 (此时
) ,或
的列线性无关(此时
) 同时
的行线性无关(此时
),或
,或
。
下方列出了
的必要条件:
![{\displaystyle (A^{\dagger }A)(BB^{\dagger })=(BB^{\dagger })(A^{\dagger }A)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cfaf7e9dbd530015450156d22021c0e5bfb6541)
由最后一个充分条件得出等式:
注意: 等式
一般不成立,例如:
实值伪逆矩阵的导数,该矩阵在某点
处具有恒定的秩 可以用原矩阵的导数来计算:[9]
Bjerhammar, Arne. Application of calculus of matrices to method of least squares; with special references to geodetic calculations. Trans. Roy. Inst. Tech. Stockholm. 1951, 49.