指数增长 (包括指数衰减 )指一个函数的增长率与其函数值成比例 。在定义域为离散的且等差 的情况下。
该图说明了指数增长(绿色)如何超过线性增长(红色)和幂增长(蓝色)。 指数增长
线性增长
幂增长
指数增长模型也称作马尔萨斯增长模型 。
基本公式
变量x 指数地依赖时间t ,若
x
(
t
)
=
a
⋅
b
t
τ
{\displaystyle x(t)=a\cdot b^{\frac {t}{\tau }}\,}
其中常数a 是x 的初始值,
x
(
0
)
=
a
,
{\displaystyle x(0)=a\,,}
并且,常数b 是正的增长率,τ 为x 增长b 倍所需时间:
x
(
t
+
τ
)
=
x
(
t
)
⋅
b
.
{\displaystyle x(t+\tau )=x(t)\cdot b\,.}
若τ > 0且b > 1,则x 为指数增长。若τ < 0且b > 1,或τ > 0且0 < b < 1,则x 为指数衰减 。
微分方程
指数函数
x
(
t
)
=
a
e
k
t
{\displaystyle \scriptstyle x(t)=ae^{kt}}
满足线性微分方程 :
d
x
d
t
=
k
x
{\displaystyle \!\,{\frac {dx}{dt}}=kx}
则称t 时刻x 的增长率与函数值x (t )成正比,且初值 为:
x
(
0
)
=
a
.
{\displaystyle x(0)=a.\,}
对于
a
>
0
{\displaystyle \scriptstyle a>0}
微分方程可以使用分离变量法 求解:
d
x
d
t
=
k
x
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=kx}
⇒
d
x
x
=
k
d
t
{\displaystyle \Rightarrow {\frac {dx}{x}}=k\,dt}
⇒
∫
d
x
x
=
∫
k
d
t
{\displaystyle \Rightarrow \int {\frac {dx}{x}}=\int k\,dt}
⇒
ln
x
=
k
t
+
constant
.
{\displaystyle \Rightarrow \ln x=kt+{\text{constant}}\,.}
考虑到给定初值:
ln
x
=
k
t
+
ln
a
{\displaystyle \ln x=kt+\ln a\,}
⇒
x
=
a
e
k
t
{\displaystyle \Rightarrow x=ae^{kt}\,}
这种解法对于
a
≤
0
{\displaystyle \scriptstyle a\leq 0}
同样适用。
对于该增长模型的非线性 变体,请参考Logistic函數 。
相關條目
文內注釋
資料引用
Meadows, Donella H., Dennis L. Meadows, Jørgen Randers, and William W. Behrens III. (1972) The Limits to Growth . New York: University Books. ISBN 0-87663-165-0
Porritt, J. Capitalism as if the world matters , Earthscan 2005. ISBN 1-84407-192-8
Thomson, David G. Blueprint to a Billion: 7 Essentials to Achieve Exponential Growth , Wiley Dec 2005, ISBN 0-471-74747-5
Tsirel, S. V. 2004. On the Possible Reasons for the Hyperexponential Growth of the Earth Population . Mathematical Modeling of Social and Economic Dynamics / Ed. by M. G. Dmitriev and A. P. Petrov, pp. 367–9. Moscow: Russian State Social University, 2004.