拉格朗日乘数
限制條件下求解極值之方法 / 維基百科,自由的 encyclopedia
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拉格朗日乘数法(英語:Lagrange multiplier,以数学家约瑟夫·拉格朗日命名),在数学中的最优化问题中,是一种寻找多元函数在其变量受到一个或多个条件的约束时的局部极值的方法。这种方法可以将一个有n个变量与k个约束条件的最优化问题转换为一个解有n + k个变量的方程组的解的问题。这种方法中引入了一个或一组新的未知数,即拉格朗日乘数,又称拉格朗日乘子,或拉氏乘子,它们是在转换后的方程,即约束方程中作为梯度(gradient)的线性组合中各个向量的系数。
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比如,要求在时的局部極值时,我们可以引入新变量拉格朗日乘数,这时我们只需要求下列拉格朗日函数的局部极值:
更一般地,对含n个变量和k个约束的情况,有:
拉格朗日乘数法所得的臨界點会包含原问题的所有臨界點,但并不保证每个拉格朗日乘數法所得的臨界點都是原问题的臨界點。拉格朗日乘数法的正确性的证明牵涉到偏微分,全微分或連鎖律。