令密度函數
是一個的定義域為
的緊支撐。令
為拉東變換的運算子(operator),則
是一個定義在
空間中的直線
,它的定義如下
![{\displaystyle {\cal {R}}f(L)=\int _{L}f({\bf {x}})|d{\bf {x}}|}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/433484d8949f7561e730203b635deb47364f48c5)
可以把直線
改寫成一個弧長
的參數式
![{\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa0731e66cd21bfb1827d0cd4d3b347af1d4b32)
是直線
和原點的距離,而
是垂直於
的法線和
軸的夾角,
接下來,我們可以令
當作
平面上的新座標系統,把這個座標變換帶入到拉東變換得到
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {R}}f(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e718067c01b38b63fdec5a93cc01a1226c41cedd)
更進一步,我們可以把
推廣到
的歐幾里得空間,對一個緊支撐的連續函數
做拉東變換後的函數
是定義在
的超平面上,
![{\displaystyle {\cal {R}}f(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad {\rm {for}}\quad \xi \in \Sigma _{n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eeed01abb6abb544839089848e2864cb80bdd27)
積分的對象是自然超平面測度(natural hypersurface measure),而
是原本的
的高維推廣。可以觀察到對
裡的任意元素,
都是某個軌跡方程式的解
![{\displaystyle {\bf {x}}\cdot \alpha =s.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d22c7b5cdeefbb394f8d748c1a5e39acd1f161)
而
是一個單位向量且屬於
,
,n維的拉東變換可以改寫成定義在
上的函數
![{\displaystyle {\cal {R}}f(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c841b9a262c21464230daa14c113f8237b8bec40)
也可以藉由其他方式將拉東變換推廣,也就是對
的k維仿射子空間作(k-dimensional affine subspaces)積分。
而這種推廣拉東變換的特殊情況被廣泛應用在X射線電腦斷層掃描,他的做法是對一條直線積分。
拉東變換和傅立葉變換之間有很強的關聯性。單變數的傅立葉變換的定義是
![{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38aeff19d8c45d4a77e66ab72f45b25c46efeb89)
而雙變數
的傅立葉變換是
![{\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bbbf1c161f48ab07eaf6db59ffcf1cd6cf82e5f)
把拉東變換的運算子的表記從
改成
。根據投影切片定理學說,
![{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha )),\quad \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9b849ebddfdeaee53ee59098490ed5a830ea08)
因此一個初始函數沿著一條線傾角
的二維的傅立葉變換,相當於對拉東變換做一維的傅立葉變換。這個結果可以推廣到n維
![{\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/049706cf100168412e11ad4dcf9899291f7c65be)
對偶拉東變換是拉東變換的埃爾米特伴隨。令在空間
上的函數
,而對偶拉東變換的運算子定義為
。作用在
上
![{\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(x)=\int _{x\in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a0796de8038b019c213d15de1d4bad5bae8f7d6)
積分的範圍是所有和
相交的超平面集合,而測度(measure)
是集合
特殊的機率測度(Probability measure),
當對著
旋轉時,
的值不會改變
對於一個二維的拉東變換,其對偶變換是
![{\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcbf0841bc1daaeb9abb71b2b9e1993b82e5dcb9)
在影像處理的文章中,對偶變換經常被稱作反向投影(back-projection) [2],因为它将平面中每条线上定义的函数 投影到该线上,从而生成图像。
交結性質
根據拉普拉斯算子
在
的定義是
![{\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04477cb8997d01e1c8032c8db486ab81d9899a6)
這是一個旋轉不變性的二階微分算子,在空間
,半徑的二階導數
![{\displaystyle Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/819847150ff2f5478e48dacc09631ddf84b7d5c3)
也是旋轉不變性。
而拉東變換與其對偶變換屬於交結運算子(intertwining operator),是因為
![{\displaystyle {\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dce25061f6f4cddea5e4bd0a88032c14b94b964c)
重建處理是指從投影影像重建一個影像,或是一個函數
。重建處理是一種逆問題(inverse problem)。
拉東反變換公式
對於二維拉東變換,最常被使用的解析公式(analytical formula)
,是Filtered Backprojection Formula或拉東反變換公式,反變換公式為
[3]
函數
滿足
[4],卷積核 (convolution kernel)
在一些文章中稱作Ramp filter。
不適定問題 (ill-posedness)
直覺上,反變換公式應該和微分類似,
。我們可以看的出來反變換公式
的行為類似微分。大致上來說,這個反變換公式把目標奇異化(singular);要如何量化拉東反轉化的不適定問題 (ill-posedness)呢?首先可以寫出
![{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}g}}(k)={\frac {1}{||\mathbf {k} ||}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bbf66e750da3f3b2d9ae019e5e83106eee62e4d)
即是前面定義的反變換運算子,且伴隨著(adjoint to)拉東變換,因此
,上式變成
![{\displaystyle {\cal {R}}^{*}{\cal {R}}g={\frac {1}{||{\bf {k}}||}}e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9b8452c94a599957e05987efc45aa23a64288d1)
複數指數函數
,是
的固有函數 (eigenfunction) ,
而特徵值 (eigenvalue)為
。
的奇異值 (singular values) 是
,
因為這些奇異值 (singular values)會趨近於0,所以
是無界的(unbounded) [4]。
外顯(explicit)且計算效率好的拉東反變換公式,以及他的對偶是存在的。n維的反拉東變換可以由[5]
![{\displaystyle c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}{\cal {R}}^{*}\{{\cal {R}}f\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6361ceeda73b3e73758cea60f1d1fad59a70e8c)
其中
![{\displaystyle c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6200f0748f4c29810883dfbae0fbca5ef8209236)
而
是拉普拉斯算子(Laplacian),
是偽微分算子(pseudodifferential operator)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\left[(-\Delta )^{(n-1)/2}\phi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}{\mathcal {F}}\phi (\xi ).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f74cd4b6777a1b180a2753a4e0267ba3f835854c)
是傅立葉變換的運算子(operator)。
存档副本. [2017-06-29]. (原始内容存档于2017-07-19).
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存档副本 (PDF). [2017-06-29]. (原始内容 (PDF)存档于2018-11-25).
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