悬链线
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悬链线(Catenary)是一种常用曲线,物理上用于描绘質量均勻分佈而不可延伸的長鏈悬掛在两支点间,因均勻引力作用下而形成向下彎曲之曲線,因此而得名。
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Mc_Catenary.png)
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/SpiderCatenary.jpg/640px-SpiderCatenary.jpg)
雖然彎曲的形狀看似二次方的拋物線,但是1638年在伽利略的《Two New Sciences》中證明因為繩子的張力會隨著吊掛重量的不同,在底端為最小、愈高的地方愈大,如此一來,它所形成的形狀就不是拋物線。
隨後在1670年胡克根據力學推導出懸鏈線的數學特性。1691年萊布尼茲、惠更斯、約翰·白努利近一步推导出數學模型。
它的公式为:
或者简单地表示为
其中cosh是雙曲余弦函数, 是一个由绳子本身性质和悬挂方式决定的常数,
軸為其準線。具体来说,
,其中
是重力加速度,
是线密度(假设绳子密度均匀),而
是绳子上每一点处张力的水平分量,它取决于绳子的悬挂方式;若绳子两端在同一水平面上,则下面的方程决定了
其中L是绳子总长的一半,d是端点距离的一半。