度規函數維基百科,自由的 encyclopedia 度規函數是數學凸分析的一個重要函數。設 E {\displaystyle E} 為 R {\displaystyle \mathbb {R} } 或 C {\displaystyle \mathbb {C} } 上的向量空間,有需要時可以假設為拓撲向量空間。設 C {\displaystyle C} 為在 E {\displaystyle E} 內的凸集,且包含原點。那麼 C {\displaystyle C} 的度規函數 p {\displaystyle p} 是從 E {\displaystyle E} 到 R ∪ { + ∞ } {\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}} 的函數,定義為 p ( x ) = inf { λ > 0 ∣ x ∈ λ C } {\displaystyle p(x)=\inf \,\{\lambda >0\,\mid \,x\in \lambda C\}} , 如果 C {\displaystyle C} 為空集,定義 p ( x ) = + ∞ {\displaystyle p(x)=+\infty } 。 從定義立刻得到以下結果,可以進一步說明度規函數: { x ∣ p ( x ) < 1 } ⊂ C ⊂ { x ∣ p ( x ) ≤ 1 } {\displaystyle \{x\,\mid \,p(x)<1\}\subset C\subset \{x\,\mid \,p(x)\leq 1\}} 若 C {\displaystyle C} 是在 E {\displaystyle E} 中的開集,那麼 C = { x ∣ p ( x ) < 1 } {\displaystyle C=\{x\,\mid \,p(x)<1\}} ; 若 C {\displaystyle C} 是在 E {\displaystyle E} 中的閉集,那麼 C = { x ∣ p ( x ) ≤ 1 } {\displaystyle C=\{x\,\mid \,p(x)\leq 1\}} 。
度規函數是數學凸分析的一個重要函數。設 E {\displaystyle E} 為 R {\displaystyle \mathbb {R} } 或 C {\displaystyle \mathbb {C} } 上的向量空間,有需要時可以假設為拓撲向量空間。設 C {\displaystyle C} 為在 E {\displaystyle E} 內的凸集,且包含原點。那麼 C {\displaystyle C} 的度規函數 p {\displaystyle p} 是從 E {\displaystyle E} 到 R ∪ { + ∞ } {\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}} 的函數,定義為 p ( x ) = inf { λ > 0 ∣ x ∈ λ C } {\displaystyle p(x)=\inf \,\{\lambda >0\,\mid \,x\in \lambda C\}} , 如果 C {\displaystyle C} 為空集,定義 p ( x ) = + ∞ {\displaystyle p(x)=+\infty } 。 從定義立刻得到以下結果,可以進一步說明度規函數: { x ∣ p ( x ) < 1 } ⊂ C ⊂ { x ∣ p ( x ) ≤ 1 } {\displaystyle \{x\,\mid \,p(x)<1\}\subset C\subset \{x\,\mid \,p(x)\leq 1\}} 若 C {\displaystyle C} 是在 E {\displaystyle E} 中的開集,那麼 C = { x ∣ p ( x ) < 1 } {\displaystyle C=\{x\,\mid \,p(x)<1\}} ; 若 C {\displaystyle C} 是在 E {\displaystyle E} 中的閉集,那麼 C = { x ∣ p ( x ) ≤ 1 } {\displaystyle C=\{x\,\mid \,p(x)\leq 1\}} 。