在數學上, 若一個拓撲空間裏,每個無窮序列都有收斂子序列,則稱該拓撲空間序列緊(英語:sequentially compact)。
雖然對於度量空間,緊等價於序列緊,但是對於一般的拓撲空間來說,緊(英語:compact)和序列緊是兩個不等價的性質。
實數軸上的標準拓撲不是序列緊的,例如 (sn = n) 便是一個沒有收斂子序列的序列。但由波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理可知所有
上的閉區間導出的子空間拓撲都是序列緊的。
對於度量空間,序列緊與緊等價。[1] 然而,一般情況下,存在序列緊而非緊的拓撲空間,比如具有序拓撲的首個不可數序數,也存在緊而非序列緊的拓撲空間,比如由
多個單位閉區間組成的積空間。[2]
- 若拓撲空間 X 的任意無窮子集都有一個極限點在 X 中,則稱 X 為聚點緊的。
- 若拓撲空間 X 的任意可數開覆蓋都有一個有限子覆蓋,則稱 X 為可數緊的。
對於度量空間,序列緊、聚點緊、可數緊、緊都是互相等價的性質。[3]
對於序列空間,序列緊與可數緊等價。[4]
單點緊化的構想是,在拓撲空間中加入一點,然後要求所有無收斂子序列的序列都收斂到該額外的點。
[5]例如實數軸的單點緊化
,它令所有在標準拓撲不收斂的序列收斂至額外的點,該點又稱為無窮遠點。
Steen and Seebach, Example 105, pp. 125—126.
Engelking, General Topology, Theorem 3.10.31
K.P. Hart, Jun-iti Nagata, J.E. Vaughan (editors), Encyclopedia of General Topology, Chapter d3 (by P. Simon)
Brown, Ronald, "Sequentially proper maps and a sequential
compactification", J. London Math Soc. (2) 7 (1973)
515-522.