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尤拉临界負载是细长柱體突然弯曲或挫曲時的压缩負载。公式如下: [1]
其中
这个公式是在西元1757年由瑞士数学家莱昂哈德·尤拉所推導出來。临界負载是不会引起横向挠曲(挫曲)的最大負载。对于小于临界負载的應力,柱将保持笔直。对于大于临界負载的應力,柱将有横向形變產生。恰等於临界負载的應力,使柱处于不稳定平衡状态。超过临界载荷的载荷会导致柱因挫曲而失效。随着負载增加超过临界負载,横向形變量会增加,直到它可能在其他模式下失效,例如材料降伏。超出临界負载的應力不在本文的讨论範圍。
大約在1900年, J. B. Johnson 提出在低細長比下,應該使用不同的方程式。
在推导尤拉公式時所做的假设如下: [2]
其中:
对于细长柱體,临界挫曲应力通常低于降伏应力。相比之下,坚固的柱子可能具有高于降伏的临界挫曲应力,即它會在挫曲之前就先降伏。
以下模型适用于两端為简支承的柱子( )。
首先,我们要注意銷接端没有反作用力,所以柱的任何横截面也没有剪力。没有应力的原因可以从对称性(所以应力应该在相同的方向)和力矩平衡(所以应力应该在相反的方向)得到。
使用圖 3 右側的自由体图,并將点 x 的力矩加總:
其中 w 是横向變形。
让 , 所以:
我们得到一个经典的齐次二阶常微分方程。
该方程的通解为: , 這裡的 和 常数由边界条件所定義,它们是:
如果 ,没有弯矩存在,我们得到了平凡解 。
但是,从其他解 我们得到 , 其中
再加上前述的 ,各种临界負载是:
并取决于 的值 ,产生不同的挫曲模態[3] ,如图 4 所示。 n=0 时的負载和模態是非挫曲模態。
理论上任何挫曲模態都有可能出現,但在缓慢施加負载的情况下,可能只会产生第一种模态形状。
因此,銷端柱的尤拉临界負载為:
得到柱的第一模态挫曲形状为:
[4]樑軸向的微分方程:
对于仅具有轴向負载的柱,横向負载 消失,再代入 可得到:
这是一个齐次四阶微分方程,其通解为
四个常数 由兩端边界条件所决定的 來得到。有以下三种情况:
对于这些边界条件的每一种组合,都会得到一個特征值问题。藉由解决这些问题,我们得到了图 2 中所示每种條件下的尤拉临界負载值。
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