密克定理(英語:Miquel's theorem)是几何学中關於相交圆的定理。1838年,密克敘述並證明了數條相關定理。许多有用的定理可由其推出。
定理陳述
三圓定理:設三個圓
,
,
交於一點
,而
,
,
分別是
和
,
和
,
和
的另一交點。設
為
的點,直線
交
於
,直線
交
於
。那麼
,
,
這三點共線。
逆定理:如果
是三角形,
,
,
三點分別在邊
,
,
上,那麼三角形
,
,
的外接圓交於一點
。
完全四線形定理:如果
是完全四線形,那麼三角形
,
,
,
的外接圓交於一點
,稱為密克點。
四圓定理:設
,
,
,
為四個圓,
和
是
和
的交點,
和
是
和
的交點,
和
是
和
的交點,
和
是
和
的交點。那麼
,
,
,
四點共圓當且僅當
,
,
,
四點共圓。
五圓定理:設
為任意五邊形,五點
,
,
,
,
分別是
和
,
和
,
和
,
和
,
和
的交點,那麼三角形
,
,
,
,
的外接圓的五個不在五邊形上的交點共圓。需要注意这样构造出的圆並不穿過五個外接圓的圓心。
几何中的五圆定理是指,五个顺次相交的圆,其圆心和一个交点位于第六个圆上,将另一个交点两两连接并延长和圆相接,可以构成五角星。[1]
逆定理:設
,
,
,
,
五個圓的圓心都在圓
上,相鄰的圓交於
上,那麼把它們不在
上的交點與比鄰同樣的點連起來,所成的五條直線相交於這五個圓上。
歷史
1838年密克在劉維爾的期刊《纯粹与应用数学杂志》發表了該定理的一部份。
密克的第一條定理,是很久前已有的著名經典結果,以圓周角定理證明。
完全四線形四圓的交點現在稱為密克點,但這性質施泰納在1828年已經知道,華萊士也很可能已經知道。
五圓定理是一條更一般的定理的特殊情形。這條定理由克利福德提出及證明。
2000年12月20日,中国国家主席江澤民出席澳門回歸祖國一周年慶典活動期間,在參觀濠江中學時向該校師生出了一道求証“五點共圓”的問題[2],令問題重新引起廣泛興趣,五点共圆问题的证明后来也成为膜蛤文化的一部分。
孔涅在2002年10月的一個研討會也重提這問題。
參考資料
Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. 1991: 79. ISBN 0-14-011813-6.
外部連結