多重线性映射

在线性代数中，多重线性映射是有多个向量变量而对每个变量都是线性的函数。

n个变量的多线性映射也叫做n重线性映射。

如果所有变量属于同一个空间，可以考虑对称、反对称和交替的n重线性映射。后两个是一致的，如果底层的环（或域）有不同于二的特征，否则前两个是一致的。

一般讨论可见多重线性代数。

例子

• 在实数域上的内积（点积）是两个变量的对称双线性函数，
• 矩阵的行列式是方矩阵的列（或行）的斜对称多重线性函数。
• 矩阵的迹数是方矩阵的列（或行）的多重线性函数。
• 双线性映射是多重线性映射。

在n×n矩阵上多重线性映射

可以考虑在有单位元的交换环K上的n×n矩阵上的多重线性函数为矩阵的行（或等价说列）上的函数。设A是这样的矩阵而${\displaystyle a_{i}}$, 1 ≤ i ≤ n是A的行。则多重线性函数D可以写为

${\displaystyle D(A)=D(a_{1},\ldots ,a_{n})}$，

满足

${\displaystyle D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n})}$，

如果我们设${\displaystyle \varepsilon _{j}}$表示单位矩阵的第j行，我们用下列方法表示${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j)\varepsilon _{j}}$

利用D的多线性我们重写D（A）为

${\displaystyle D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(i,j)\varepsilon _{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(i,j)D(\varepsilon _{j},a_{2},\ldots ,a_{n})}$

继续这种代换于每个${\displaystyle a_{i}}$我们得到，对于1 ≤ i ≤ n

${\displaystyle D(A)=\sum _{1\leq k_{i}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D(\varepsilon _{k_{1}},\dots ,\varepsilon _{k_{n}})}$

所以D(A)是唯一的决定自它如何运算于${\displaystyle D(\varepsilon _{k_{1}},\dots ,\varepsilon _{k_{n}})}$上。

在2×2矩阵的情况下我们得到

${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{2,1}D(\varepsilon _{1},\varepsilon _{1})+A_{1,1}A_{2,2}D(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2})+A_{1,2}A_{2,1}D(\varepsilon _{2},\varepsilon _{1})+A_{1,2}A_{2,2}D(\varepsilon _{2},\varepsilon _{2})}$，

这裡的${\displaystyle \varepsilon _{1}=[1,0]}$且${\displaystyle \varepsilon _{2}=[0,1]}$。如果我们限制D是交替函数，则${\displaystyle D(\varepsilon _{1},\varepsilon _{1})=D(\varepsilon _{2},\varepsilon _{2})=0}$且${\displaystyle D(\varepsilon _{2},\varepsilon _{1})=-D(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2})=-D(I)}$。设${\displaystyle D(I)=1}$我们得到在2×2矩阵上行列式函数:

${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,2}A_{2,1}}$，

性质

多重线性映射有零值，只要它的一个参数是零。

对于n>1，唯一的也是线性映射的n-线性映射是零函数。

参见

• 代数形式
• 多重线性形式
• 齐次多项式
• 齐次函数
• 张量